Solow

Crecimiento Econ´omico
Hugo Vega
Marzo 2014

1.

El Modelo de Solow

En el modelo de Solow, el proceso de crecimiento econ´omico depende de la forma
de la funci´on de producci´on. Por esa raz´on, comenzaremos presentando la funci´on de
producci´on y sus propiedades.
Y = F (K, L)
La funci´on F que plantearemos es neocl´
asica, ya que cumple con las siguientes condiciones:
1. Rendimientosconstantes a escala
F (λK, λL) = λF (K, L)
para λ > 0. Esta propiedad se conoce tambi´en como homogeneidad lineal y quiere
decir que incrementar los factores de producci´on en una determinada proporci´on
(λ), resulta en un incremento del producto en la misma proporci´on (ej.: duplicar
factores de producci´on duplica el producto).
2. Producto marginal positivo y decreciente en cada factor de producci´on
∂2F
∂F
> 0,
<0
∂L
∂L2
∂F
∂ 2F
> 0,
<0
∂K
∂K 2
El producto adicional que se obtiene al aumentar un factor de producci´on es cada
vez menor.
3. Condiciones de Inada
El producto marginal del capital (o trabajo) tiende a infinito cuando el capital
(o trabajo) se aproxima a cero. El producto marginal del capital (o trabajo) se
aproxima a cero cuando el capital (o trabajo) tiende a infinito.
l´ım

L→0∂F
∂L

= l´ım

K→0

∂F
∂K

=∞

∂F
∂F
= l´ım
=0
L→∞
K→∞
∂L
∂K
Estas condiciones garantizan que no habr´a soluciones de esquina en el modelo, es
decir, los productos marginales nunca cortan los ejes.
l´ım

1

Todo lo anterior implica una funci´on de producci´on como la siguiente:
Figura 1: La funci´on de producci´on
100

Producto (Y)

80
60
40
20
0
0

10

20

30

40

50

60

70

80

9

10

Trabajo (L)Producto marginal (PML)

Figura 2: El producto marginal
30
25
20
15
10
5
0
0

1

2

3

4

5

6

7

8

Trabajo (L)

1.1.

Variables per c´
apita

Dadas las propiedades mostradas anteriormente, podemos expresar la funci´on de producci´on en t´erminos per c´apita (o “por trabajador”) como se muestra a continuaci´on.
Primero, partimos usando la propiedad de homogeneidad lineal con λ = L1 :
1
1
1
F (K, L) = F (K, L)
L L
L
entonces,
K
Y
, 1) =
L
L
Lo cual reescribimos de la siguiente forma:
F(

y = f (k)
2

donde y ≡ YL es el producto per c´apita y k ≡ K
es el capital per c´apita. Esta es la forma
L
intensiva de la funci´on de producci´on.
La funci´on f (·) hereda sus propiedades de F (·). En particular, demostraremos que su
producto marginal debe tener el mismo comportamiento, yaprovecharemos para hallar
la forma intensiva del producto marginal del capital y el trabajo.
Podemos escribir el producto marginal del capital como
∂
∂
∂
∂k
1
∂Y
=
(Ly) =
(Lf (k)) = L (f (k))
= Lf (k) = f (k)
∂K
∂K
∂K
∂k
∂K
L
Donde el primer paso se obtiene de la definici´on del producto per c´apita y el tercer
paso de la regla de la cadena. Note que podemos escribir el resultado as´ı:
∂y
∂Y
=
= f (k)
∂K
∂kEl producto adicional que se obtiene al usar una unidad extra de capital en la producci´on
es id´entico al producto per c´apita adicional que se obtiene al usar una unidad extra de
capital por trabajador.
Para hallar la forma intensiva del producto marginal del trabajo podemos hacer lo
siguiente:
∂Y
∂
∂
∂
=
(Ly) =
(Lf (k)) = f (k) + L
(f (k))
∂L
∂L
∂L
∂L
∂
∂k
K
= f (k) + L (f (k))
= f (k) + Lf (k)− 2
∂k
∂L
L
entonces,
∂Y
= f (k) − f (k) k
∂L
En competencia perfecta, debe cumplirse que la remuneraci´on a los factores de producci´on
iguala al respectivo producto marginal: r + δ = f (k) y w = f (k) − f (k) k.
Podemos escribir el beneficio de la firma que utiliza esta funci´on de producci´on as´ı:
Π = Y − wL − (r + δ) K
Es sencillo mostrar que si cada factor es remunerado de acuerdo a suproducto marginal,
el beneficio deber´a ser cero.

1.2.

La acumulaci´
on del capital

La inversi´on bruta sirve para reponer el capital depreciado y, de ser lo suficientemente
grande, incrementar el capital:
It = (Kt+1 − Kt ) + δKt
En esta expresi´on, el par´ametro δ representa la tasa de depreciaci´on: es la fracci´on del
capital que se deprecia en cada periodo. Note que si la inversi´on no...