Solución de un sistema de ecuaciones 4 x 4

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES 4 x 4. AUTOR: Leopoldo Raúl Cano Rivera Sea el sistema a solucionar, a1 x  b1 y  c1 z  d1u  k1 ...(1) el formado por las ecuaciones

a 2 x  b2 y  c 2 z  d 2 u  k 2 ...(2) a3 x  b3 y  c3 z  d 3u  k 3 ...(3)

. Para resolverlo por el Método de Determinantes, al

a 4 x  b4 y  c 4 z  d 4 u  k 4 ...(4) aplicar la Regla de Kramer, formamos uncociente de dos determinantes para el cual hemos sustituido en la determinante del numerador la columna de resultados, siendo la determinante del denominador la determinante del sistema, es decir: a 1 b1 c1 d 1 a 2 b2 c 2 d 2 . Por ejemplo, para calcular x en el sistema formamos el siguiente a 3 b3 c3 d 3 a 4 b4 c 4 d 4
cociente:

k1 k2 k3 x

b1 b2 b3

c1 c2 c3

d1 d2 d3

k b4 c 4 d 4x .  4 a1 b1 c1 d1  a 2 b2 c 2 d 2 a3 b3 c3 d3

a 4 b4 c 4 d 4 Para operar el cociente anterior, es necesario resolver primero determinantes de cuarto orden en el numerador y en el denominador. A continuación se describe paso a paso el procedimiento para calcular este tipo de determinantes:
PRIMER PASO. Seleccione un renglón o una columna, de preferencia el más sencillo (el que contenga signospositivos, unos o ceros). Esto se hace para transformar la determinante de cuarto orden en otra que consiste en un conjunto de productos de una constante por una determinante de tercer orden. Considere que el orden de una determinante cuadrada depende del número de renglones o columnas que este contiene, siendo el de tercer orden el que consta de 3 renglones y 3 columnas y el de cuarto orden elcontiene 4 renglones y 4 columnas. SEGUNDO PASO. Para el renglón seleccionado o la columna seleccionada forme n productos que consistirán –como se dijo antes- de una constante que multiplica a una determinante de orden n – 1. La constante será el elemento seleccionado en la columna o en el renglón, y la determinante estará conformada por los elementos de la determinante de orden n que se formancuando se cancela el

1

renglón y la columna pertenecientes al elemento seleccionado. El signo del factor seleccionado está determinado por el renglón y la columna a la que pertenece. Si el factor está ubicado en una posición par (sumando el número del renglón y el de la columna), el signo del factor será positivo; por el contrario, si al sumar el número del renglón y de la columna donde está elfactor es impar, el signo del mismo será negativo. TERCER PASO: Resolviendo los productos de los factores (positivos o negativos) por las determinantes de orden menor, y simplificando el resultado obtenido, queda resuelto el determinante de orden n. EJEMPLO ANALÍTICO. Supóngase que se quiere resolver la determinante del sistema visto arriba y que se elige el primer renglón para formar los nproductos para resolver esa determinante. Operando conforme a los pasos anteriores se obtiene lo siguiente:

a1 a2 a3 a4

b1 b2 b3 b4

c1 c2 c3 c4

b2 d2  a1  b3 d3 b4 d4

d1

c2 c3 c4

d2

d 3  b1  a3 d4 a4

a2

c2 c3 c4

d2

d 3  c1  a3 d4 a4

a2

b2 b3 b4

d2

d 3  d1  a3 d4 a4

a2

b2 b3 b4

c2 c3 c4

El signo de cada factor (cuyo nombre técnicoes el de cofactor) está determinado por su ubicación en la determinante de orden n. En otras palabras, el signo de a1 es positivo porque el cofactor a1 está ubicado en el renglón 1 y la columna 1, dando la suma el número par 2; el signo de b1 es negativo porque la suma del renglón y la columna donde este se ubica es impar (renglón 1 más columna 2 igual al número impar 3); el signo del cofactor c1es positivo porque en esta ubicación r1 + c3 = 4. Finalmente, el signo del cofactor d1 es negativo. Si se hubiera seleccionado la tercera columna, los cofactores y de orden n – 1, quedarían como se muestra a continuación: a 1 b1 c1 d1 a 2 b2 d 2 a1 b1 d1 a1 b1 a 2 b2 c 2 d 2  c1  a3 b3 d 3  c 2  a3 b3 d 3  c3  a 2 b2 a3 b3 c3 d 3 a 4 b4 d 4 a 4 b4 d 4 a 4 b4 a 4 b4 c 4 d 4 EJEMPLO...