Solucion De La Ecuación De Cauchy Euler Por La Transformada De Mellin

Scientia et Technica Año XV, No 42, Agosto de 2009. Universidad Tecnológica de Pereira. ISSN 0122-1701

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SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE CAUCHY - EULER POR MEDIO DE LA TRANSFORMADA DE MELLIN.
Solution of the equation Cauchy – Euler by the Mellin Transform

RESUMEN En el presente trabajo se da una solución de una ecuación diferencial lineal ordinaria no homogénea con coeficientes variables,caso Cauchy – Euler, haciendo uso de la técnica de las transformadas integrales. La técnica mas apropiada para la solución de la ecuación en mención es la Transformada de Mellin. PALABRAS CLAVES: Ecuación Diferencial, Cauchy, Euler, Transformada de Mellin. ABSTRACT In the present work a solution of a linear ordinary differential equation with variable coefficients inhomogeneous, case Cauchy -Euler, using the technique of integral transforms, is given. The most appropriate technique for the solution of the equation in question is the Mellin transform. . KEYWORDS: Cauchy, Differential Equation, Euler, Mellin transform.

JOSE RODRIGO GONZALEZ G. Profesor Auxiliar, Ph.D., Facultad de Ciencias Básicas Universidad Tecnológica de Pereira jorodryy@utp.edu.co jorodryy@gmail.com LUIS FERNANDOPLAZA GALVEZ Ingeniero Electricista, Especialista en Finanzas, Candidato a Magíster en Enseñanza de las Matemáticas con énfasis en la línea de Ecuaciones Diferenciales en la Universidad Tecnológica de Pereira. Docente Tiempo Completo en la Unidad Central del Valle del Cauca, UCEVA lplaza@uceva.edu.co lufepla@gmail.com

1. INTRODUCCIÓN Este trabajo corresponde a la aplicación de la técnica de lastransformadas integrales a la solución de la ecuación diferencial ordinaria con coeficientes variables.

Finalmente se da una solución algorítmica por medio de la transformada de Mellin, el cual permite poner en práctica una alternativa con software especializado.

2. TRANSFORMADA DE MELLIN

dny d n −1 y a n x n n + a n −1 x n −1 n −1 + .... dx dx (1 ) dy + a1 x + a 0 y = g ( x) dx
Estaúltima ecuación (1) representa la conocida ecuación de Cauchy - Euler ó Ecuación Equidimensional. La cual es una ecuación diferencial ordinaria de orden n con coeficientes variables no homogénea, donde an, an-1, ….. a1, a0, son constantes reales, o de igual modo:

2.1 Generalidades La transformada de Mellin es la transformada más popular en el análisis de algoritmos. Además está estrechamenterelacionado con la transformada bilateral de Laplace y la de Fourier. La popularidad de esta transformada radica en dos propiedades importantes: permite la reducción de ciertas ecuaciones funcionales en unas algebraicas, y suministra un mapeo directo entre expansiones asintóticas de una función cercana a cero o infinito y el conjunto de singularidades de la transformada en el plano complejo. [1] Latransformada de Mellin puede ser vista como la transformada de Fourier.

∑a
k =1

n

k

xk

dky + a0 y = g ( x) dx k

( 2)

Fecha de Recepción: 8 de junio de 2009 Fecha de Aceptación: 28 de julio de 2009

301 2.2 Definición

Scientia et Technica Año XV, No 42, Agosto de 2009. Universidad Tecnológica de Pereira

ó Dada una función f(x) definida para valores positivos de x y quesatisfaga las condiciones [2]:

f ( x) = M

−1

{Fˆ ( s ), x}

∫
∫

1 0

f ( x ) x σ 1 −1 dx < ∞

2.3 Relaciones entre las transformadas de Mellin y las transformadas de Laplace (L) y de Fourier (F). Se relacionan de la siguiente forma

∞ 1

f ( x ) x σ 2 −1 dx < ∞

ˆ F ( s ) = M { f ( x ), s } = L f ( e − x ), s + L f ( e x ), − s ˆ F ( s ) = M { f ( x ), s } = F f ( e − x ), is.

{

} {

}

Para algunos números reales σ1 y σ2, con σ1 < σ2, la transformada de Mellin de f(x), se define por
∞

{

}

ˆ F (s) =
con

∫ f ( x) x
0

s −1

dx ,

(3)

Lo que permite utilizar de manera valiosa las tablas ya existentes para las transformadas de Laplace y de Fourier. 2.4 Propiedades de la Transformada de Mellin Es de recalcar que la transformada de...