ECUACIONES DE EULER

Ecuaciones del movimiento de un fluido ideal

Fluido ideal:
1. Es incompresible, su volumen no cambia al moverse
2. La densidad ρ es constante para todos los elementos de fluido y para
todos lostiempos.
3. La fuerza sobre un elemento de superficie nδS dentro del fluido es
pn δS,
donde p(x, y, z, t) es una funci´
on escalar denominada presi´
on.
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Implicaciones de la condici´
onde incompresibilidad
El flujo (volumen por unidad de tiempo) a trav´es de un elemento de
superficie δS es
u · n δS.
El flujo neto a trav´es de una superficie cerrada S que rodea un volumen V
ser´acero en el caso de un fluido incompresible
u · n dS =
S

∇ · u dV = 0.
V

Como esto debe cumplirse para todos los elementos de fluido
∇·u=0
en todos los puntos del fluido.
2

Fuerzassobre un elemento de fluido: Ecuaciones de Euler
La fuerza sobre una superficie cerrada S que rodea un volumen de fluido
ser´a (tercera propiedad del fluido ideal)
−

pn δS = −
S

∇p dV,
VEntonces, si ∇p es continuo la fuerza neta por unidad de volumen debida
a la presi´
on ser´a −∇p.
Si sobre el fluido act´
ua la fuerza de la gravedad (fuerza de volumen), la
fuerza total sobre unapart´ıcula de fluido de volumen δV ser´a
(−∇p + ρg)δV.
3

Esta fuerza ser´a igual a la masa de la part´ıcula de fluido (que se conserva)
por su aceleraci´
on
Du
ρδV
.
Dt
Las ecuaciones delmovimiento del fluido ideal (denominadas ecuaciones de
Euler) ser´an
Du
1
= − ∇p + g,
Dt
ρ
∇ · u = 0.
Tenemos una ecuaci´
on vectorial (o tres ecuaciones escalares) y una
ecuaci´
onescalar, las inc´
ognitas son u, v, w, p.

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Ecuaciones de Euler en coordenadas cartesianas
1 ∂p
∂u
+ (u · ∇)u = −
∂t
ρ ∂x
∂v
1 ∂p
+ (u · ∇)v = −
∂t
ρ ∂y
∂w
1 ∂p
+ (u · ∇)w = −
∂t
ρ ∂zdonde

∂f
∂f
∂f
(u · ∇)f = u
+v
+w
∂x
∂y
∂z

La ecuaci´
on de continuidad es
∂u ∂v ∂w
+
+
=0
∂x ∂y ∂z

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Ecuaciones de Euler en coordenadas cil´ındricas
u2φ
∂ur
1 ∂p
+...