Solucion numerica ecuacion onda pdetool

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Escuela de F´ ısica Facultad de Ciencias Universidad Industrial de Santander

Soluci´n Num´rica de un Problema de o e Electrost´tica mediante la herramienta a “Pdetool” de Matlab
Diego Bernal1 , Oscar Pimentel1 , Johan Triana1
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Escuela de F´ ısica, Facultad de Ciencias, Universidad Industrial de Santander, Colombia

Resumen Para el an´lisis del problema de potencial que consiste deuna esfera met´lica de radio R coneca a tada a un potencial Vo encima de una placa met´lica a una distancia d desde el centro de la esfera a conectada a tierra utilizaremos la herramienta “PDETOOL” de “MATLAB” la cual esta dise˜ada n para resolver diversos problemas expresados en ecuaciones diferenciales parciales como es el caso de la Ecuaci´n de Laplace que es la ecuaci´n utilizada pararesolver este problema. o o

Introducci´n o
En el estudio de la Teor´ Electromagn´tica cl´sica ıa e a se analizan diversos m´todos para resolver problee mas asociados a potenciales y campos el´ctricos en e Electrost´tica, uno de los m´s conocidos y estudia a ados es el desarrollado por el F´ ısico y Matem´tico a franc´s Pierre Simon Laplace, el cual consiste en e describir el comportamiento delpotencial el´ctrico e en una regi´n del espacio mediante la soluci´n a o o una ecuaci´n en derivadas parciales. Una soluci´n o o general se puede encontrar por medio del m´todo de e separaci´n de variables, independientemente del siso tema de coordenadas que por conveniencia se utilice, hall´ndose una expresi´n matematica con cona o stantes que pueden ser determinadas por medio de las condiciones defrontera. Al definir estos coeficientes, es posible encontrar soluciones particulares propias de las caracter´ ısticas del problema planteado. En ciertas ocasiones, hallar estas constantes anal´ ıticamente resulta muy tedioso debido al manejo de las funciones especiales, como los polinomios de Legendre, o de Bessel, y a problemas con la geometr´ del espacio o con las condiciones de fronıa tera. Elproblema de resolver ecuaciones diferenciales parciales complicadas, puede ser abordado mediante la implementaci´n de m´todos num´ricos, los o e e cuales aportan soluciones muy aproximadas a la soluci´n anal´ o ıtica y permiten analizar el comportamiento f´ ısico del problema, que para el caso espec´ ıfico de la soluci´n de la ecuaci´n de laplace, o o

ser´ una descripci´n bastante detallada delcomıa o portamiento del potencial el´ctrico. e Existen diversas herramientas computacionales que utilizan los m´todos num´ricos para resolver este e e tipo de problemas. En esta ocaci´n se utilizar´ la o a herramienta “PDETOOL (P artial Dif f erential Equation T oolbox)” de MATLAB la cual nos arroja una cantidad discreta de datos, los cuales deber´n a ser analizados para explicar el comportamiento delpotencial el´ctrico. e

Potencial de Laplace
El m´todo m´s b´sico para calcular el potencial e a a el´ctrico de un sistema, mediante la integraci´n, ree o sult´ ser muy limitado ya que requiere geometr´ o ıas sencillas y se aplica unicamente a casos especiales. Este problema plante´ la necesidad de implemeno tar un m´todo en esencia m´s general y aplicable e a a geometrias m´s complicadas, esen este momento a donde aparece la ecuaci´n de laplace para la eleco trost´tica, donde el potencial resultante es v´lido a a para todo el espacio. Matem´ticamente la ecuaci´n de Laplace se esa o cribe, 2 V =0 (1) o ´ para coordenadas esfericas, 1 ∂ r2 ∂r ∂V ∂r 1 ∂ sin θ ∂θ ∂V ∂θ

r2

+

r2

sin θ

2

de aplicar las condiciones de frontera o por la necesidad de aplicar propiedades deortonormalizaci´n de o los Polinomios de Legendre, como es el actual caso, En este art´ ıculo se busca conocer el comportamien- lo cual hace que el proceso para hallar la soluci´n o to del potencial el´ctrico en todo el espacio para un sea bastante extenso y tedioso. e sistema compuesto por una esfera met´lica de radio a La necesidad de buscar una forma m´s eficaz para a R y potencial V0 , y una...