solucion practica 1

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
HPV/

Práctica 1. 527147.
1. Analizar los límites indicados:
1
a) lim √
+
x→5 x x − 5
√
36x + 3 − 3
c) lim
x→4
x−4

, b) lim x
x→0

√
√
1 + cos x − 2
√
1 − cos x

x2
, d) lim √ 2
x→2+
x −4

Solución.a) Del hecho que lim (x − 5) = 0, por valores positivos, se sigue quex→5+
√
1
lim x − 5 = 0 también por valores positivos, luego lim √
= +∞.
+
+
x→5
x→5
x−5
1
1
1
Finalmente, dado que lim = > 0, se obtiene lim √
= +∞
+x
+
x→5
x→5 x x − 5
5
b) De laigualdad
√ √
√
√
1 + cos x − 2 1 + cos x + 2
1 + cos x − 2
√
√ =√
√
√
√
1 − cos x
1 + cos x + 2
1 − cos x 1 + cos x + 2
√
1 − cos x
√
= −√
1 + cos x + 2
√
√
√
√
con lim 1 − cosx = 0 y lim 1 + cos x + 2 = 2 2
x→0
x→0
√
√
1 + cos x − 2
√
se sigue que lim
= 0 y por tanto
x→0
1 − cos x
√
√
1 + cos x − 2
√
1 − cos x

lim x

x→0

c) Con y =

=0

√
3
6x+ 3, es decir 6x + 3 = y 3 , resulta 6x = y 3 − 3
y3 − 3
−4
6
1 3
=
y − 27
6
1
=
(y − 3) 3y + y 2 + 9
6

x−4 =

y lim

x→4

√
3
6x + 3 = 3, luego
√
3
6x + 3 − 3
y−3
lim
=lim 1
x→4
y→3 (y − 3) (3y + y 2 + 9)
x−4
6
2
6
= lim
=
y→3 (3y + y 2 + 9)
9

x2
d) lim √
x→2+
x2 − 4

1
x2
Como en el item a), lim √
= +∞ y además lim √
= 2. Luego,
x→2+
x→2+x−2
x+2
x2
x2
1
√
lim √ 2
= lim √
= +∞
x→2+
x − 4 x→2+ x + 2 x − 2

2. Encontrar todas las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (si existen) del
gráfico de f , justificando susafirmaciones.
x3 − 5x2
2x2 − 18
|x|
(d) f (x) =
|x| − 1

x+3
x−2
x
(c) f (x) = √
1 − x2

(a) f (x) =

(b) f (x) =

Solución.a) Asíntota vertical es x = 2 porque, considerando que limx→2 (x + 3)= 5 > 0 :
1
x−2
1
x−2

lim (x + 3)
+

x→2

lim (x + 3)

x→2−

= +∞
= −∞

Asíntota horizontal (a derecha e izquierda) es y = 1 ya que
x+3
=
x→+∞ x − 2
lim

1+
lim
x→−∞...