solucionario matemáticas

Solucionario

8

Límites y continuidad
ACTIVIDADES INICIALES

8.I.

Simplifica las expresiones siguientes.
x2 ؊ 7x ؉ 12
—
a) —
x2 ؊ 9

x3 ؊ x
—
c) —
2
x ؊ 6x ؉ 5

x3 ؊ 8
—
b) —
x2 ؊ 4

(x ؊ 2)(x ؉ 3)(2x ؊ 1)
d) ———
x2 ؊ 4

x2 Ϫ 7x ϩ 12
(x Ϫ 3)(x Ϫ 4)
x Ϫ 4
ᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
a) ᎏ
x2 Ϫ 9
x Ϫ 3)(x ϩ 3)
x ϩ 3
(x Ϫ 2)(x2 ϩ 2x ϩ 4)
x3 Ϫ 8
x2 ϩ 2x ϩ 4
b) ᎏ
ᎏ ϭ ᎏᎏᎏ ϭᎏᎏ
(x Ϫ 2)(x ϩ 2)
x2 Ϫ 4
x ϩ 2
x3 Ϫ x
x(x ϩ 1)(x Ϫ 1)
x(x ϩ 1)
c) ᎏ
ᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
x2 Ϫ 6x ϩ 5
(x Ϫ 1)(x Ϫ 5)
x Ϫ 5
(x Ϫ 2)(x ϩ 3)(2x Ϫ 1)
(x Ϫ 2)(x ϩ 3)(2x Ϫ 1)
(x ϩ 3)(2x Ϫ 1)
d) ᎏᎏᎏ
ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
x2 Ϫ 4
(x ϩ 2)(x Ϫ 2)
x ϩ 2
8.II.

Racionaliza y simplifica:
x ؊ 1
a) ——
x ؊ 1
͙ෆ

4x(x ؊ 1)
b) ——
x2 ؊ x
͙ෆ

x ؉ 2
c) ———
2
x
؉
؉ 4 ؊ x
͙ෆ2xෆ

x Ϫ 1
x Ϫ 1
(x Ϫ 1)(͙xෆ ϩ1)
͙xෆ ϩ 1
a) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ
x Ϫ 1
͙ෆx Ϫ 1
͙xෆ Ϫ 1 ͙ෆx ϩ 1

͙xෆ

ϩ 1

2
4x(x Ϫ 1)͙ෆ
x2 Ϫ x
4x(x Ϫ 1)
4x(x Ϫ 1) ͙xෆ
Ϫ x
b) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏᎏ ϭ 4 ͙ෆ
x2 Ϫ x
2
2
2
x(x Ϫ 1)
Ϫ x
Ϫ x
Ϫ x
͙xෆ
͙xෆ
͙xෆ

x2 ϩ 2ෆ
x ϩ 4 ϩ x
x ϩ 2
x2 ϩ 2x ϩ 4 ϩ x
͙ෆ
ᎏᎏᎏ
c) ᎏᎏᎏ
и
ϭ
ᎏ
ᎏ
2
x2 ϩ 2ෆ
x ϩ 4 ϩ x
x2 ϩ 2ෆ
x ϩ 4 Ϫ x
͙ෆ
͙ෆ
8.III. Factoriza los siguientes polinomios.a) P(x) ‫ ؍‬x3 ؉ 2x2 ؊ x ؊ 2
b) Q(x) ‫ ؍‬x4 ؊ 5x3 ؉ 3x2 ؉ 9x
a) P(x) ϭ (x Ϫ 1)(x ϩ 1)(x ϩ 2)
b) Q(x) ϭ x(x ϩ 1)(x Ϫ 3)2

EJERCICIOS PROPUESTOS
8.1. Calcula, operando en las expresiones originales y formando una tabla de valores, los siguientes límites.
x3 ؉ 5x2 ؉ x
a) lim ——
x→0
x

x ؊ 1
c) lim ——
x→1
͙ෆx ؊ 1

e) lim (x ؉ 1)x؊2

x2 ؉ 1
d) lim ——
x→0 x ؉ 1

x2 ؊ 3x ؉ 2
f)lim ——
x→2
x ؊ 2

a) 1

c) 2

e) 1

b) 2

d) 1

f) 1

b) lim
x→9

3

x ؊ 1
͙ෆ

42

x→2

Solucionario

8.2. Calcula, si existen, los siguientes límites.
⏐x⏐
a) lim f(x) para f (x) ‫—— ؍‬
x→0
x

b) lim f(x) para f (x) ‫؍‬

Ά x3x ؉؊ 11

si x ഛ 2
si x Ͼ 2

c) lim f(x) para f (x) ‫؍‬

x ؉ 2
Ά 3x
؊ 1

si x ഛ 0
si x Ͼ 0

x→2

x→0

2

2

a) Noexiste lim f (x). Aunque sí los límites laterales lim f(x) ϭ Ϫ1 y lim f(x) ϭ 1
x→0Ϫ

x→0

x→0ϩ

b) lim f (x) ϭ 5
x→2

c) No existe lim f (x). Aunque sí los límites laterales y lim f(x) ϭ 2 y lim f(x) ϭ Ϫ1
x→0Ϫ

x→0

x→0ϩ

8.3. Sabiendo que lim f (x) ‫ ؍‬؊3 y lim g(x) ‫ ؍‬0, calcula los siguientes límites cuando x → a de las siguientes funx→a
x→a
ciones.
a) 2f ؊ 3g

d) (f ؒ g)2g) f g

b) (3f )2

e) (f ؉ g)2

h) (1 ؉ g)f

g
c) ——
f

f
f) ——
g؉1

i) g1؊f

a) Ϫ6

d) 0

g) 1

b) 81

e) 9

h) 1

c) 0

f) Ϫ3

i) 0

8.4. Se sabe que las funciones f y g tienen límite en el punto x ‫ ؍‬a. Además lim (f(x)g(x)) ‫ ؍‬؊1. Di si las siguientes
x→a
afirmaciones son ciertas o falsas.
a) lim f(x) ‫ ؍‬0
x→a

b) Si lim g(x) ‫ ؍‬؊2 ⇒ lim (f(x))g(x) ‫ ؍‬4.
x→a

Έ

x→1

Έ

f(x)
c) lim —— es un cuadrado perfecto.
x→a
g(x)
a) Falsa, sería imposible que el producto valiera Ϫ1.
1
b) Verdadera, porque entonces el límite de f valdría ᎏᎏ.
2
Ϫ1
c) Verdadera, porque como lim f (x) ϭ ᎏᎏ , siempre al sustituir obtenemos el cuadrado del límite de una función.
x→a
lim g(x)
x→a

8.5. Calcula, haciendo una tabla, los siguienteslímites.
؊4x ؉ 4
a) lim ——
x→1
x ؊1

x2 ؉ 4x ؉ 3
c) lim ——
x→3
x؊ 3

x2 ؉ 2x ؉ 1
b) lim ——
x→؊1
x؉ 1

3x2 ؉ x ؊ 1
—
d) lim —
x→ϱ
2x2 ؉ 1

a) Ϫ4

x2 ϩ 4x ϩ 3
c) No existe, pues lim ᎏᎏ
x→3
x Ϫ 3

b) 0

3
d) ᎏᎏ
2

Ϫ

Solucionario

43

x2 ϩ 4x ϩ 3
lim ᎏᎏ
x→3
x Ϫ 3
ϩ

Solucionario
8.6*. Calcula, operando en las expresiones originales:
2x3 ؊ 3x2
—
a) lim —x→0
x2 ؉ x

x2 ؊ 5x ؉ 6
—
c) lim —
2
x→5 x ؊ 7x ؉ 12

x2 ؉ x
—
b) lim —
2
x→؊1 x ؊ 1

4x2 ؊ x3 ؊ 3x
1
—
d) lim —— ؊ —
x→1
x2 ؊ 3x ؉ 2
x ؊ 1

΂

΃

2x3 Ϫ 3x2
x2(2x Ϫ 3)
a) lim ᎏ
2 ᎏ ϭ lim ᎏᎏ ϭ 0
x→0
x→0
x ϩ x
x(x ϩ 1)
x2 ϩ x
x(x ϩ 1)
1
b) lim ᎏ
2 ᎏ ϭ lim ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
x→Ϫ1 x Ϫ 1
x→Ϫ1 (x Ϫ 1)(x ϩ 1)
2
x2 Ϫ 5x ϩ 6
1
(x Ϫ 2)(x Ϫ 3)
c) lim ᎏ
ᎏ ϭ lim ᎏᎏ...