Soluciones de una ecuacion diferencial

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Soluciones de una Ecuación diferencial
Definición: Toda función φ definida en un intervalo “I”, que al ser sustituida en una ED, la transforma en una identidad, se le denomina Solución de la ecuación en ese intervalo
Se puede afirmar entonces que una solución de una ecuación diferencial ordinaria en un intervalo “I” es toda función φ(x) tal que Fx , ∅ x , ∅'x , … , ∅n(x ) = 0.Entiéndase que
y = φ(x). Ejemplos:
CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES DE UNA ED
Dependiendo en función de que variables se exprese la solución de una ED, éstas se clasifican en:
a) Soluciones Explícitas : cuando la variable dependiente se expresa únicamente en términos de la variable independiente y constantes , es decir , y = φ(x), ejemplos:
1) Y = 2x3 , es solución explícita de la ED y’-2y’’ + xy = -2x3
2) y=ex2, es solución explícita de la ED y’’ -2y’ +y = 0

b) Soluciones Implícitas: cuando la variable dependiente no se expresa en términos de la variable independiente sino que aparece como una relación entre la variable dependiente e independiente igualada a cero, ejemplos:
6x – 2y = 0 es una solución implícita de la ecuación y’ =3
X2 + y2 = 9 es una solución de laecuación y’ = -xy
En general, entenderemos que una relación G(x, y) = 0 es una solución implícita para una ecuación diferencial ordinaria en un intervalo “I”, siempre que exista una función φ que satisfaga tanto a la relación G como a la ED en ese intervalo.
Cuando la solución explícita es justamente y = 0, se le denomina solución trivial (véase el ejemplo 2 de las solucionesexplícitas).
Existe una situación similar cuando se resuelve un integral que cuando se resuelve una ED, en el sentido que cuando se obtiene la solución de un integral indefinido ésta involucra la presencia de una constante de integración. De igual forma cuando se resuelve una ecuación diferencial de primer orden F(x, y, y’)= 0, se obtiene una solución que implica la presencia de una constante arbitraria(llamado parámetro y representado por “c”). En general una solución con una sola constante arbitraria, representa una familia de Soluciones (Familia de Soluciones Uniparamétricas o Monoparamétricas), se representa por G (x, y, c1 ) =0.
Si se resuelve una ecuación diferencial de orden “n” F(x, y, y’, y’’, … , yn)= 0, se obtiene una familia n-paramétrica de soluciones G (x, y, c1 , c2 , c3, … ,cn ) =0.
Lo anterior significa que una ED puede tener un infinito número de soluciones las cuales dependen de las elecciones ilimitadas de los valores de los parámetros.
solución General
Si toda solución de una ecuación de orden n, F(x, y, y´,..., y(n) ) = 0, en un intervalo I, se puede obtener de una familia n-paramétrica G(x, y, c1, c2,..., cn) = 0 con valores adecuados de los parámetrosc1(i = 1, 2, ..., n), se dice que la familia es la solución general de la ecuación diferencial.
solución Particular
Una solución de una ecuación diferencial que no tiene parámetros arbitrarios (es decir, estos toman valores específicos) se llama solución particular; por ejemplo, la familia Uniparamétrica
y = cx –xcosx es solución explícita de de la ecuación lineal de primer orden xy’ – y =x2Senx en el intervalo (-α, α), Ahora bien si particularizamos valores para el parámetro c =0, tendremos que la ecuación y =xcosx, es una solución particular de la ED.
solución Singular
En algunos casos, una ecuación diferencial tiene una solución que no se puede obtener particularizando alguno de los parámetros en una familia de soluciones. Esa solución se llama solución singular. Así porejemplo: para la ecuación diferencial y'= xy12 , se pueden señalar dos soluciones y= 116x4 y la solución trivial y = 0, pero la primera solución se obtiene a partir de la familia de soluciones Uniparamétrica y= 14x2+c2, haciendo c =0 , es decir es una solución particular de la ED, mientras que la solución y =0 , no se obtiene de la particularización de algún valor para el parámetro...
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