Solucións de sistemas ecuaciones no lineales


Contenido
Introducción 2
Método de Jacobi 3
Ejemplos: 3
3
Método de Gauss-Seidel 4
Ejemplos: 4
4
Método de Newton-Raphson 5
Ejemplo: 6
Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones no lineales 7
Uso de herramientas computacionales 8
Bibliografía 9


Introducción
 
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten dos o más incógnitas. Las soluciones de un sistema deecuaciones son todos los valores que son válidos para todas las ecuaciones, o los puntos donde las gráficas de las ecuaciones se intersectan.
 Podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales graficando, por sustitución y por combinación lineal. Los sistemas de funciones no lineales, como ecuaciones cuadráticas o exponenciales, pueden ser manejados con las mismas técnicas.

Método de Jacobi
Eneste método la matriz tangente que interviene en cada iteración

Se sustituye por otra con la misma diagonal pero con todos sus demás elementos nulos. Más concretamente, denotando por a la matriz:




Se utilizara el esquema iterativo:


Esta forma de proceder efectivamente reduce de forma notable el número de operaciones (sólo conlleva evaluar n funciones derivadas en lugar de n2 yademás la inversión de una matriz diagonal sólo implica n operaciones). Pero sólo es válida si los elementos no diagonales de la matriz jacobiana son “pequeños” comparados con los términos diagonales.
Ejemplos:

Método de Gauss-Seidel

En esta variante del método de Newton-Raphson, la matriz tangente de cada iteración es sustituida por otra triangular inferior en la que los elementos de la diagonal ylos que están por debajo de ella coinciden con los de la matriz jacobiana. Más concretamente, siendo Gf(x (i) ) la matriz:










el esquema que se emplea es:


En esta variante del método de Newton-Raphson también se reduce de forma notable el número de operaciones (solo conlleva evaluar (n.(n + 1)/2) funciones derivadas en lugar de n2 y además la inversión de una matriz triangular sóloimplica del orden de n2 operaciones). Pero también su límite de validez lo marcará la pequeñez de los términos que se están despreciando en la matriz tangente.
Ejemplos:

Método de Newton-Raphson

Considérese nuevamente el sistema de n ecuaciones no lineales con n incógnitas representado por


Al igual que se hizo en el caso de una variable, supongamos que en un dominio cerrado D ⊂ IRn f(x) es unafunción de clase (C 2 (D))n . Y supongamos además que la ecuación anterior admite una solución x ∗ en el dominio D. Para cualquier otro vector x (0) ∈ D , denotando por δx al vector tal que x ∗ = x (0) + δx, la expresión del desarrollo en serie de Taylor nos permitiría afirmar, para cada una de las ecuaciones del sistema, que existen valores θj ∈ [0, 1] (j = 1, 2, .., n) tales que:



Donde Hfj(x) es la matriz hessiana de la función fj (x). Si conocido x (0) se fuese capaz de determinar δx resolviendo el sistema formado para j = 1, 2, .., n, por las ecuaciones:


Podría determinarse x ∗ como x ∗ = x (0) + δx. Pero para resolver este sistema primero deberíamos conocer los valores de θj (lo cual no es obvio) y, una vez conocidos, resolver un sistema, en general, no lineal pues obsérveseque δx interviene en la expresión de las matrices hessianas
Por tanto, salvo en situaciones muy particulares, no se ganaría gran cosa remplazando el problema de resolver f(x) = 0 por el de resolver el sistema anterior. El método de Newton-Raphson (o método de linealización de Newton) se sustenta en simplificar las expresiones anteriores linealizándolas. Para ello considera que si se estásuficientemente cerca de la solución (es decir si ||δx|| es suficientemente pequeño) los términos

Podrán despreciarse frente a los otros términos de cada ecuación del sistema. Por ello, denotando por [Jf(x)] a la matriz jacobiana de f en el punto x, en este método se resuelve el sistema lineal


Del que se obtiene que:

Obviamente, al ser diferente el sistema linealizado que el proporcionado por el...