Subespacio Vectorial Y Propiedades

Sea W un subconjunto de un espacio
vectorial V sobre un cuerpo K. W se
denomina un subespacio de V si es a su
vez un espacio vectorial sobre K con
respecto a las operaciones de V, suma
vectorialy producto por un escalar. Un
criterio simple para identificar
subespacios es el siguiente.
Teorema: supongamos que W es un
subconjunto de un espacio vectorial V.
entonces W es un subespacio deV si y
solo si se cumple:
1. 0єW
2. W es cerrado bajo la suma de
vectores, es decir: para todo par de
vectores u, vєW, la suma u+vєW.
3. W es cerrado bajo el producto por
un escalar, esto es:para todo uєW y
para todo kєK el múltiplo kuєW.
Corolario: W es un subespacio de V si y
solo si:
1. 0єW.
2. au+bvєW para todos los u, vєW y a,
bєK.
Ejemplo: sean U y W subespacios de un
espaciovectorial V. probemos que la
intersección UÇW es también
subespacio de V. claramente, 0ÎU y
0ÎW, porque U y W son subespacios, de
donde 0ÎUÇW. supongamos ahora que
u, vÎUÇW. entonces u, vÎU y u,vÎE y,
dado que U y W son subespacios, u+v,
kuÎU y u+v, kuÎW para cualquier
escalar k. así u+v, kuÎUÇW y por
consiguiente UÇW es un subespacio de
V. El resultado del ejemplo precedente
segeneraliza como sigue.
Teorema: la intersección de cualquier
número de subespacios de un espacio
vectorial V es un subespacio de V.
Recuérdese que toda solución de un
sistema de ecuaciones linealescon n
incógnitas AX=B puede verse como un
punto en Kn y por tanto el conjunto
solución de tal sistema es un
subconjunto de Kn. Supongamos que el
sistema homogéneo, es decir,
supongamos que elsistema tiene la
forma AX=0. Denotemos por W su
conjunto solución. Como A0=0, el
vector cero 0ÎW además, si u y v
pertenecen a W, esto es, si u y v son
soluciones de AX=0, necesariamente
Au=0 yAv=0. Por esta razón, para todo
par de escalares a y b en K, tendremos
A(au+bv)=aAu+bAv=a0+b0=0+0=0. De
esta manera, au + bv es también una
solución de AX=0 o, dicho de otro
modo, au+bvÎW. En...