suceciones

Series de McLaurin y su Aplicaci´n en la
o
Linearizaci´n de Sistemas Vibratorios No
o
Lineales.
Jos´ Mar´ Rico Mart´
e
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ınez
Departamento de Ingenier´ Mec´nica
ıa
a
Facultad deIngenier´ Mec´nica El´ctrica y Electr´nica
ıa
a
e
o
Universidad de Guanajuato
Salamanca, Gto. 38730, M´xico
e
email: jrico@salamanca.ugto.mx

1

Objetivo

Existen una gran variedad de sistemasvibratorios cuya naturaleza es no lineal,
pero que cuando las amplitudes de las vibraciones del sistema son “peque˜ as”,
n
el comportamiento del sistema se aproxima a un comportamiento lineal. Enese tr´nsito, es necesario emplear la aproximaci´n de funciones trigonom´tricas
a
o
e
mediante series de potencias, alrededor del valor 0 de la variable independiente.
Esas series de potencias seconocen como series de McLaurin y este peque˜ o
n
apunte muestra de manera concisa su aplicaci´n
o

2

El Problema de Aproximaci´n de Funciones
o
Mediante Series de Potencias.

Suponga quese desea aproximar una funci´n f (x), alrededor del valor x = 0 de
o
la variable independiente, mediante series de potencias; es decir
f (x) = C0 x0 + C1 x1 + C2 x2 + C3 x3 + · · · =

∞

Cn xn .(1)

n=0

La serie indicada en la ecuaci´n (1) se conoce como serie de McLaurin. El
o
objetivo es determinar los coeficientes C0 , C1 , C2 , C3 , . . . de la serie.1
1 Desde un punto devista matem´tico, existen muchos otras interesantes interrogantes,
a
como las condiciones de existencia y unicidad y el intervalo de convergencia que no se discutir´n
a
aqu´
ı

1

El proceso dedeterminaci´n de los coeficientes de la serie de McLaurin cono
siste en derivar, repetidamente, ambos lados de la ecuacion (1).
f (1) (x)
f (2) (x)

=
=

1 C1 x0 + 2 C2 x1 + 3 C3 x2 + · · ·(2) (1) C2 x0 + (3) (2) C3 x1 + · · ·

(2)
(3)

f (3) (x)

=

(3) (2) (1) C3 x0 + · · ·

(4)

Donde, el exponente de f indica orden de la derivada. Es f´cil generalizar
a
el resultado...