Sucesión F.
Páginas: 6 (1451 palabras)
Publicado: 17 de febrero de 2015
La sucesión de Fibonacci
Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?
En este gráfico se puede ver que el número de parejas a lo largo de los meses coincide conlos términos de la sucesión.
La sucesión de Fibonacci es infinita y se obtiene mediante la siguiente función recursiva:
Así la sucesión de Fibonacci es:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229,...
Todas las sucesiones que cumplen la fórmula de recurrencia
xn + 2 = xn + 1 + xntambién se llaman sucesiones de Fibonacci.
Propiedades de la sucesión de Fibonacci: La sucesión de Fibonacci tiene un montón de propiedades curiosas.
La razón entre un término de la sucesión y el inmediatamente anterior va oscilando por encima y por debajo de la razón áurea y que, a medida que avanzamos en la serie, la diferencia de la razón de Fibonacci con la razón áurea se va haciendo cada vezmenor:
L = limnf(n)/f(n - 1) = limn(f(n - 1) + f(n – 2))/f(n - 1) =
= limn(1 + f(n - 2)/f(n-1)) = 1 + limnf(n - 2)/f(n - 1) = 1 + 1/L
L = 1 + 1/L L2 – L – 1 = 0 L = = (1 + 5)/2 = 1,618039…
Diferencia en valor absoluto con
f 2 / f 1 = 1
0, 61 80 33 98 ...
f 3 / f 2 = 2 / 1 = 2
0, 38 19 66 01 ...
f 4 / f 3 = 3 / 2 = 1, 5
0, 11 80 33 98 ...
f 5 / f 4 = 5 / 3= 1, 66 66 66 66 ...
0, 04 86 32 67 ...
f 6 / f 5 = 8 / 5 = 1, 6
0, 01 80 33 98 ...
f 7 / f 6 = 13 / 8 = 1, 62 5
0, 00 69 66 01 ...
f 8 / f 7 = 21 / 13 = 1, 61 53 84 61 ...
0, 00 26 49 37 ...
f 9 / f 8 = 34 / 21 = 1, 61 90 47 76 ...
0, 00 10 13 63 ...
f 10 / f 9 = 55 / 34 = 1, 61 76 47 05 ...
0, 00 03 86 92 ...
…
La espiral de Fibonacci se construye así:
Se empiezaconstruyendo un cuadrado de lado 1 (cuadrado 1) y se añade otro igual (cuadrado 2) para formar un rectángulo de lados 2 y 1 como se indica en la figura.
Junto al lado grande del rectángulo de añade otro cuadrado de lado 2 (cuadrado 3) para formar un rectángulo de lados 3 y 2.
Después se añade un cuadrado de lado 3 (cuadrado 4) de manera que el siguiente rectángulo tiene lados 5 y 3.
Y asísucesivamente.
Esta espiral se genera dibujando el cuadrante de un círculo en cada nuevo cuadrado que se añada.
Vemos que los radios de cada círculo que hemos dibujado son los números de la sucesión de Fibonacci.
La espiral áurea es la que se construye partiendo de un rectángulo áureo y quitándole o aumentándole cuadrados. Quedaría así:
Transparencia
Se ve claramente cómo se van pareciendo cadavez más la espiral de Fibonacci y la espiral áurea.
La suma infinita de los términos de la sucesión F(n)/10n es exactamente 10/89.
Los números consecutivos de Fibonacci son primos entre si. Esta claro que si no lo fueran tendrían un factor común y, desde ahí, todos los términos de la sucesión serían múltiplos de ese factor.
La suma de n términos de la sucesión es:
F(1) + F(2) + F(3) + … +F(n) = F(n + 2) – 1
La suma de los términos impares es:
F(1) + F(3) + F(5) + … + F(2n - 1) = F(2n)
La suma de los términos pares es:
F(2) + F(4) + F(6) + … + F(2n) = F(2n + 1) – 1
La suma de los cuadrados de n términos es:
F2(1) + F2(2) + F2(3) + … + F2(n) = F(n) · F(n + 1)
La diferencia de los cuadrados de dos números de Fibonacci cuyos índices difieren en dos unidades, es otronúmero de Fibonacci.
F2(n + 1) - F2(n - 1) = F(2n)
Cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de unos cuantos números distintos de la sucesión de Fibonacci.
Comparar los distintos juegos de pesas.
Un término de cada tres de la sucesión de Fibonacci es par, uno de cada cuatro es múltiplo de tres y uno de cada cinco es múltiplo de cinco.
Si F(p) es un número primo, p...
Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?
En este gráfico se puede ver que el número de parejas a lo largo de los meses coincide conlos términos de la sucesión.
La sucesión de Fibonacci es infinita y se obtiene mediante la siguiente función recursiva:
Así la sucesión de Fibonacci es:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229,...
Todas las sucesiones que cumplen la fórmula de recurrencia
xn + 2 = xn + 1 + xntambién se llaman sucesiones de Fibonacci.
Propiedades de la sucesión de Fibonacci: La sucesión de Fibonacci tiene un montón de propiedades curiosas.
La razón entre un término de la sucesión y el inmediatamente anterior va oscilando por encima y por debajo de la razón áurea y que, a medida que avanzamos en la serie, la diferencia de la razón de Fibonacci con la razón áurea se va haciendo cada vezmenor:
L = limnf(n)/f(n - 1) = limn(f(n - 1) + f(n – 2))/f(n - 1) =
= limn(1 + f(n - 2)/f(n-1)) = 1 + limnf(n - 2)/f(n - 1) = 1 + 1/L
L = 1 + 1/L L2 – L – 1 = 0 L = = (1 + 5)/2 = 1,618039…
Diferencia en valor absoluto con
f 2 / f 1 = 1
0, 61 80 33 98 ...
f 3 / f 2 = 2 / 1 = 2
0, 38 19 66 01 ...
f 4 / f 3 = 3 / 2 = 1, 5
0, 11 80 33 98 ...
f 5 / f 4 = 5 / 3= 1, 66 66 66 66 ...
0, 04 86 32 67 ...
f 6 / f 5 = 8 / 5 = 1, 6
0, 01 80 33 98 ...
f 7 / f 6 = 13 / 8 = 1, 62 5
0, 00 69 66 01 ...
f 8 / f 7 = 21 / 13 = 1, 61 53 84 61 ...
0, 00 26 49 37 ...
f 9 / f 8 = 34 / 21 = 1, 61 90 47 76 ...
0, 00 10 13 63 ...
f 10 / f 9 = 55 / 34 = 1, 61 76 47 05 ...
0, 00 03 86 92 ...
…
La espiral de Fibonacci se construye así:
Se empiezaconstruyendo un cuadrado de lado 1 (cuadrado 1) y se añade otro igual (cuadrado 2) para formar un rectángulo de lados 2 y 1 como se indica en la figura.
Junto al lado grande del rectángulo de añade otro cuadrado de lado 2 (cuadrado 3) para formar un rectángulo de lados 3 y 2.
Después se añade un cuadrado de lado 3 (cuadrado 4) de manera que el siguiente rectángulo tiene lados 5 y 3.
Y asísucesivamente.
Esta espiral se genera dibujando el cuadrante de un círculo en cada nuevo cuadrado que se añada.
Vemos que los radios de cada círculo que hemos dibujado son los números de la sucesión de Fibonacci.
La espiral áurea es la que se construye partiendo de un rectángulo áureo y quitándole o aumentándole cuadrados. Quedaría así:
Transparencia
Se ve claramente cómo se van pareciendo cadavez más la espiral de Fibonacci y la espiral áurea.
La suma infinita de los términos de la sucesión F(n)/10n es exactamente 10/89.
Los números consecutivos de Fibonacci son primos entre si. Esta claro que si no lo fueran tendrían un factor común y, desde ahí, todos los términos de la sucesión serían múltiplos de ese factor.
La suma de n términos de la sucesión es:
F(1) + F(2) + F(3) + … +F(n) = F(n + 2) – 1
La suma de los términos impares es:
F(1) + F(3) + F(5) + … + F(2n - 1) = F(2n)
La suma de los términos pares es:
F(2) + F(4) + F(6) + … + F(2n) = F(2n + 1) – 1
La suma de los cuadrados de n términos es:
F2(1) + F2(2) + F2(3) + … + F2(n) = F(n) · F(n + 1)
La diferencia de los cuadrados de dos números de Fibonacci cuyos índices difieren en dos unidades, es otronúmero de Fibonacci.
F2(n + 1) - F2(n - 1) = F(2n)
Cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de unos cuantos números distintos de la sucesión de Fibonacci.
Comparar los distintos juegos de pesas.
Un término de cada tres de la sucesión de Fibonacci es par, uno de cada cuatro es múltiplo de tres y uno de cada cinco es múltiplo de cinco.
Si F(p) es un número primo, p...
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