Sucesiones Aritméticas Y Geométricas

Sucesiones Aritméticas y Geométricas

El tema de suceciones es de fundamental importancia en la aplicación de las matemáticas a temas concretos de la vida real.
La definición de una sucesión es: “un conjunto de números entre los cuales existe una relación constante, la relación puede ser de carácter aritmético (la diferencia entre dos números consecutivos es constante) o geométrica (la divisiónde dos números consecutivos es constante)” (1).
Así, por ejemplo, el siguiente conjunto representa una sucesión aritmética:
{-2, 0, 2, 4, …}
La forma de identificar si se trata de una sucesión aritmética es mediante la aplicación de la definición. Así, se toman dos números consecutivos a1 y a2 (a denota cualquier elemento de la suceción, mientras que el subíndice indica la posición del elemento,así, a1 representa el número inicial de la sucesión). Para el ejemplo, a1 = -2 y a2 = 0, entonces, la diferencia entre estos dos números es: a2 - a1 = 0 – (-2) = 2. Se repite la operación para el siguiente par de números a2, a3: 2 – 0 = 2; y nuevamente, 4 – 2 = 2. Con esto comprobamos que la diferencia entre cualquier par de números consecutivos es constante e igual a 2 para este ejemplo. Así,podemos definir en forma recursiva la sucesión como:
a0 = -2 con an = an-1 + 2 para n ≥ 2
o, en forma explícita:
an = -2 + 2 (n-1)
Es directametne observable que a partir de esta definición se puede generalizar la fórmula para el cálculo de cualquier elemento n de una serie aritmética a partir de conocer el primer elemento (K) y el monto de incremento (d):
{an}∞n=1 an = K + d(n-1)
De esta manera, si deseamos conocer el décimo término de nuestra serie, lo calculamos de la siguiente manera:
a10 = -2 + 2 (10-1) entonces, a10 = 16
Como advertimos en la definición, las progresiones geométricas son semejantes a las aritméticas en que están formadas por una sucesión de números relacionados entre sí. Sin embargo, la relación para las sucesiones geométricas ahora seráde tipo multiplicación. Así, un ejemplo de sucesión geométrica es:
{1, 3, 9, 27, …}
Para verificar que efectivamente se trata de una sucesión geométrica, tomamos los primeros dos elementos: a2 / a1 = 3 / 1 = 3. Para el segundo par, a3 / a2 = 9 / 3 = 3, y para el siguiente par, 27 / 9 = 3. Dado que la razón de cambio es constante, podemos definir que se trata de una sucesión o progresióngeométrica. La definición de esta suceción puede hacerse:
a0 = 1 con an = an-1 × r
o, en forma sintética:
an = K × (r)n-1
Así encontramos un punto importante que es que la función que nos permite calcular cualquier elemento de una progresión geométrica es una función de tipo exponencial. Esto es significativo porque sabemos que en la naturaleza, la función exponencial se encuentra en un sinfín defenómenos. Así, por ejemplo, el crecimiento poblacional de una especie, puede describirse con este modelo y así, puede estar descrito por una serie geométrica. Tomemos el caso del crecimiento de una colonia de bacterias, si tomamos el tiempo medio que toma para que se dividan las bacterias, nuestra serie sería:
{1, 2, 4, 8, 16, …}
No es del todo claro, pero aplicar la fórmula nos permitiráreconocer que el crecimiento de este modelo es explosivo. Es el caso de la famosa historia del matemático Chaturanga, inventor del ajedrez y el red de India quien le prometió darle lo que deseara. De acuerdo a la leyenda, Chaturanga pidió un grano de arroz por el primer cuadro, dos por el segundo y así en progresión geométrica hasta el cuadro 64. Usando la forma deducida, la cantidad de granos por elcuadro 64 es:
a64 = 1 × 263 = 9.22 × 1018
Lo cual es más arroz que todo el producido desde que se cultiva el grano. Entonces, si r > 1 los números en la sucesión tenderán a crecer de manera importante, si r < 1 los números tenederán a cero y si r es negativo, se presenta el fenómeno que cada nuevo elemento de la serie tendrá un signo contrario al anterior.
Las sucesiones pueden usarse para...