sucesiones matematicas
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Publicado: 14 de mayo de 2013
Sucesiones matemáticas
Por el libro, una sucesión se define como una aplicación definida sobre los números naturales (1,2,3,...). Dicho así, la definición enciclopédica puede resultar un poco confusa. Dicho con palabras llanas, una sucesión es un conjunto infinito de números ordenados que se suceden siguiendo alguna lógica. Si alguien ha hecho en su vida algún test de inteligencia, estárelacionado con los típicos juegos de adivinar el siguiente número.
Un ejemplo de sucesión sería este
X1 = 1
X2 = 3
X3 = 5
.....
siendo el término n-ésimo:
Xn = 2·n - 1
Esta sucesión representa a los números impares. A simple vista se puede ver que desde el punto de vista de la notación, la sucesión presenta una enorme ventaja. Permite expresar infinitos números en una expresión muy corta.En el caso del ejemplo anterior:
f(n) = 2·n - 1
Si sustituimos el término n por cualquier valor natural obtenemos automáticamente el término correspondiente de la sucesión. Como sucede con otras herramientas, como las matrices, la sucesión permite abreviar notablemente las expresiones y ahorrar en cálculos.
Las aplicaciones de las sucesiones son incontables. Se utilizan abundantementepara demostrar los teoremas y las propiedades de la topología matemática, y en la muy conocida demostración del número pi, pero dado que esta parte del cálculo es la más inocua, son mucho más destacadas sus aplicaciones en materia de cálculo numérico.
Las series numéricas son la suma de los términos de una sucesión y la materia más densa de la primera parte de la asignatura cálculo del primercurso de cualquier carrera técnica. Existen varios tipos de series en función de la naturaleza de la sucesión que las conforma, que pueden ser aritméticas, geométricas, basadas en funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, etcétera... Pues calcular la suma de términos de las sucesiones es de aplicación para calcular el error máximo que obtenemos al realizar una operación por un método decálculo numérico iterativo.
Bajaré a la tierra por un momento. Imaginemos esta sucesión, de tipo geométrico, definida de forma implícita:
Xn = X(n-1) / 2,
con X1=1
y donde X(n-1) es el término anterior a Xn
Cada término es la mitad del término anterior
Xn = 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128....
Se puede demostrar mediante la teoría de series que cada término es igual a lasuma de todos los siguientes. Por lo tanto, si calculamos "a groso modo" una suma de números de este tipo sumando los términos uno a uno, podemos acotar el error que se produce, que puede ser todo lo pequeño que queramos a costa de invertir más tiempo sumando números. Si queremos que el error sea menor del 1% bastaría con sumar todos los términos hasta que llegar a un término inferior a 1/100,concretamente los 8 primeros del ejemplo expuesto. Esta es la forma concreta en la que "piensa" y resuelve los problemas complejos (integración, resolución de sistemas) una calculadora o un ordenador.
Imaginemos que le damos la vuelta a la sucesión y trabajamos con:
Xn = X(n-1) · 2
X1 = 1
Xn = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,....
Aquí, del mismo modo, cada término es igual a la suma de todoslos números situados a la izquierda más el primer término. Por definición de sucesión cada término debe de ser inequívoco y por lo tanto el primer término debe de ser una constante. Si el primer término fuese infinitamente pequeño (infinitésimo), para los efectos sí que se daría como en el caso anterior que cada término es igual al caso anterior. Por tanto, si en un juego de apuestas en el queel payoff es igual al riesgo y la cantidad inicial es un número cualquiera de esta sucesión, si cada vez que perdiésemos volviésemos a jugar la cantidad del siguiente número de la sucesión hasta ganar, y suponiendo que no sufrimos una cantidad infinita de derrotas, nuestro beneficio sería siempre el mismo y exactamente igual a la primera cantidad apostada.
La principal aplicación de esto son los...
Por el libro, una sucesión se define como una aplicación definida sobre los números naturales (1,2,3,...). Dicho así, la definición enciclopédica puede resultar un poco confusa. Dicho con palabras llanas, una sucesión es un conjunto infinito de números ordenados que se suceden siguiendo alguna lógica. Si alguien ha hecho en su vida algún test de inteligencia, estárelacionado con los típicos juegos de adivinar el siguiente número.
Un ejemplo de sucesión sería este
X1 = 1
X2 = 3
X3 = 5
.....
siendo el término n-ésimo:
Xn = 2·n - 1
Esta sucesión representa a los números impares. A simple vista se puede ver que desde el punto de vista de la notación, la sucesión presenta una enorme ventaja. Permite expresar infinitos números en una expresión muy corta.En el caso del ejemplo anterior:
f(n) = 2·n - 1
Si sustituimos el término n por cualquier valor natural obtenemos automáticamente el término correspondiente de la sucesión. Como sucede con otras herramientas, como las matrices, la sucesión permite abreviar notablemente las expresiones y ahorrar en cálculos.
Las aplicaciones de las sucesiones son incontables. Se utilizan abundantementepara demostrar los teoremas y las propiedades de la topología matemática, y en la muy conocida demostración del número pi, pero dado que esta parte del cálculo es la más inocua, son mucho más destacadas sus aplicaciones en materia de cálculo numérico.
Las series numéricas son la suma de los términos de una sucesión y la materia más densa de la primera parte de la asignatura cálculo del primercurso de cualquier carrera técnica. Existen varios tipos de series en función de la naturaleza de la sucesión que las conforma, que pueden ser aritméticas, geométricas, basadas en funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, etcétera... Pues calcular la suma de términos de las sucesiones es de aplicación para calcular el error máximo que obtenemos al realizar una operación por un método decálculo numérico iterativo.
Bajaré a la tierra por un momento. Imaginemos esta sucesión, de tipo geométrico, definida de forma implícita:
Xn = X(n-1) / 2,
con X1=1
y donde X(n-1) es el término anterior a Xn
Cada término es la mitad del término anterior
Xn = 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128....
Se puede demostrar mediante la teoría de series que cada término es igual a lasuma de todos los siguientes. Por lo tanto, si calculamos "a groso modo" una suma de números de este tipo sumando los términos uno a uno, podemos acotar el error que se produce, que puede ser todo lo pequeño que queramos a costa de invertir más tiempo sumando números. Si queremos que el error sea menor del 1% bastaría con sumar todos los términos hasta que llegar a un término inferior a 1/100,concretamente los 8 primeros del ejemplo expuesto. Esta es la forma concreta en la que "piensa" y resuelve los problemas complejos (integración, resolución de sistemas) una calculadora o un ordenador.
Imaginemos que le damos la vuelta a la sucesión y trabajamos con:
Xn = X(n-1) · 2
X1 = 1
Xn = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,....
Aquí, del mismo modo, cada término es igual a la suma de todoslos números situados a la izquierda más el primer término. Por definición de sucesión cada término debe de ser inequívoco y por lo tanto el primer término debe de ser una constante. Si el primer término fuese infinitamente pequeño (infinitésimo), para los efectos sí que se daría como en el caso anterior que cada término es igual al caso anterior. Por tanto, si en un juego de apuestas en el queel payoff es igual al riesgo y la cantidad inicial es un número cualquiera de esta sucesión, si cada vez que perdiésemos volviésemos a jugar la cantidad del siguiente número de la sucesión hasta ganar, y suponiendo que no sufrimos una cantidad infinita de derrotas, nuestro beneficio sería siempre el mismo y exactamente igual a la primera cantidad apostada.
La principal aplicación de esto son los...
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