Sucesión matemática

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Sucesión matemática

Una sucesión es una función definida sobre los enteros naturales. Es costumbre emplear las letras u, v, w... para designarlas, en vez de f, g, h... que sirven para las funciones. Del mismo modo, la variable se nota usualmente n (por natural) en vez de x, habitual para las variables reales.
Por convención, se escribe un en vez de u(n) la imagen de n por la sucesión u, o seael término número n+1 de la sucesión u (el primer término es habitualmente u0).
El interés de las sucesiones no salta a la vista, pues la noción de función las incluye. Sin embargo, hay que matizar esta afirmación.
Primero, una sucesión es un objeto más accesible e inmediato que una función. Por ejemplo, se puede presentar bajo la forma de una lista (infinita) de sus valores: p.ej: 0, 1, 4, 9,16, 25, ... es la sucesión de los cuadrados de los naturales.
En segundo lugar, se puede definir una sucesión sin pasar por una función, aprovechándose de una propiedad de N que no existe en R: N tiene un elemento menor que todos los demás; 0, y cada elemento no nulo es el sucesor de otro. Se puede así definir los valores de un por inducción.
Los tipos de sucesiones más comunes son:

Lassucesiones aritméticas
Una sucesión aritmética puede ser definida como función de n: un = u0 + r.n, o por inducción:
• u0 = a
• un+1 = un + r. r se denomina la razón de la sucesión.
Si la razón es positiva, la sucesión crece, y tiende hacia + ∞. Si es negativa, decrece y tiende hacia - ∞. Si es nula, la sucesión es constante.
ejemplo:
[pic]
Existe una fórmula muy sencilla para sumarnúmeros en progresión aritmética (es decir términos sucesivos de una sucesión aritmética): se multiplica el término medio, que es el promedio de los términos extremos, por el número de términos. Esta fórmula toma las formas siguientes, según el contexto:
[pic]
Como caso particular, 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2.
À veces lo más difícil es encontrar el número de términos, para poder aplicar lafórmula. Si el primer término que sumar vale a, el último vale b, y la razón es r, entonces hay |b - a|/r + 1 términos en la suma.
Por ejemplo : S = 1492 + 1499 + 1506 + ... 2003 = ?
La razón es 7.
(2003 - 1492)/7 = 73, luego hay 74 términos, y la suma es:
74 × (1492 + 2003)/2 = 129 315.
Las sucesiones geométricas
Una sucesión geométrica puede ser definida como función de n: un = b.rn, o porinducción:
• u0 = b
• un+1 = r·un. r es también la razón de la sucesión. A menudo se la denota q.
[pic]
El comportamiento de la sucesión geométrica depende del signo del primer término y del valor de su razón.
Si la razón es positiva, entonces la sucesión es monótona, y tiene un aspecto muy regular, que se puede prolongar por una función de tipo exponencial de base r: un = b.rn se prolongaen f(x) = b·rx.
[pic]
Las sucesiones aritmeticogeométricas
Es, como lo indica su nombre, una mezcla de las dos definiciones anteriores: por inducción:
• wn+1 = q.wn + r.
La fórmula de inducción hace intervenir la suma de la sucesión aritmética, y el producto de la sucesión geométrica.
Descartemos los casos q = 1 (sucesión aritmética) y r = 0 (sucesión geométrica). Entonces se puedeafirmar que el comportamiento de la sucesión es de tipo geométrico, y determinado por q, y que su carácter aritmético solo aparece como una translación.
Más precisamente, sea l el único número que verifica l = ql + r.
Si w0 = l (lo que equivale a w1 = w0 ) entonces w será una sucesión constante. Sino es fácil ver que v1 = wn - l es una sucesión geométrica (no nula) de razón q, y que por lo tanto:
•si |q| > 1, w no converge (porque no lo hace v)
• si |q| < 1, w converge hacia l (porque v tiende hacia 0).
Claro, la clasificación del párrafo anterior según los valores de q sigue válida, con tal de trasladar las curvas verticalmente de l unidades.
Si uno suma los términos de una sucesión, se le llama una serie matemática. Se puede observar que aunque una sucesión converja, la serie...
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