Suma Cero

Teoría. de juegos
En los capítulos anteriores, encontramos muchas situaciones en las cuales una sola persona elige una decisión óptima sin referencia al efecto que la decisión tiene en otras personas que toman decisiones (y sin referencia al efecto que las decisiones de otros tiene sobre esta persona). No obstante, en muchas situaciones financieras, dos o más personas que toman decisionesescogen en forma simultánea una acción, y dicha acción que eligió cada persona, o jugador, afecta las recompensas que obtienen los otros jugadores. Por ejemplo, cada compañía que vende bocadillos debe establecer una estrategia de publicidad y de precios para su producto, y cada decisión de la compañía afectará los ingresos y las ganancias de otras compañías que venden bocadillos. La teoría de juegos esútil para tomar decisiones en casos donde dos o más personas que deciden se enfrentan a un conflicto de intereses. La mayor parte de la teoría de juegos que se estudia aquí trata sobre situaciones, hay sólo dos personas que toman las decisiones (que pueden ser jugadores), pero también se considera brevemente la teoría de juegos con n personas (donde n > 2). El estudio de la teoría de juegos iniciacon un análisis de los juegos con dos personas en los cuales los jugadores no tienen un interés común.

14.1

Juegos de suma cero y de suma constante para dos personas: Puntos silla
Características de los juegos de suma cero para dos personas
Hay dos jugadores (el jugador de los renglones y el jugador de las columnas). 2 El jugador de los renglones debe elegir una de m estrategias. Eljugador de las columnas debe elegir, simultáneamente, 1 de n estrategias. 3 Si el jugador de los renglones escoge su i-ésima estrategia y el jugador de las columnas elige su j-ésima estrategia, entonces el jugador de los renglones recibe una recompensa de aij y el jugador de las columnas pierde una cantidad aij' Por lo tanto, se podría pensar que la recompensa aij del jugador de los renglones provienedel jugador de las columnas. Este tipo de juego se llama juego de suma cero para dos personas, y se representa mediante la matriz de la tabla 1 (matriz de recompensa del juego). Como ya se estableció, aij es la recompensa de jugador de los renglones (y la pérdida del jugador de las columnas) si el jugador de los renglones elige su i-ésima estrategia y el jugador de las columnas elige suj-ésimaestrategia con las columnas.

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TABLA

1

Ejemplo de un juego de suma cero para dos personas
Estrategia del jugador de los renglones Renglón 1 Renglón 2 Renglón m Estrategia del jugador de las columnas Columna 1 Columna 2 Columna n

ami

Como se estableció anteriormente, aij es la recompensa del jugador de renglón (y pérdida del jugador de columna, si el jugador de renglón selecciona sui-ésima estrategia y el jugador de columna selecciona su j-ésima estrategia de columna. Por ejemplo, en el juego de suma cero para dos personas de la tabla 2, el jugador de los renglones recibiría dos unidades (y el jugador de las columnas perdería dos unidades) si el jugador de los renglones elige su segunda estrategia y el jugador de las columnas elige su primera estrategia. El juego de sumacero para dos personas tiene la propiedad de que para cualquier opción de estrategias, la suma de recompensas para los jugadores es cero. En este juego, cada dólar que gana un participante proviene del bolsillo del otro; así, ellos siempre tendrán conflictos de intereses. Por lo tanto, nunca habrá cooperación entre los dos jugadores. John von Neumann y Oskar Morgenstern desarrollaron, con base enlos supuestos siguientes, una teoría acerca de la manera como se deben jugar los juegos de suma cero con dos personas.

Suposición básica de la teoría de juegos de suma cero para dos personas
Cada jugador elige una estrategia que lo posibilita a hacer lo mejor que puede, dado que su oponente conoce la estrategia que está siguiendo. Usemos esta suposición para determinar cómo los jugadores de...