Suma de Riemann

Suma de Riemann
Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la curva y se van calculando las partes de una función por medio departiciones en forma de rectángulos con base en un incremento en el eje X, ya que la suma de todas las áreas de los rectángulos va ser el área total. Dicha área es conocida como lasuma de Riemann
Una partición P del intervalo cerrado [a, b] es un conjunto finito de puntos P = { x0, x1, x2, ..., xn} tal que:
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn-1 < xn = bPartición de un intervalo
La diferencia máxima entre cualesquiera dos puntos consecutivos de la partición, se llama norma de la partición, y se denota por || P || , esdecir:
|| P || = max {xj - xj-1 , j = 1 ... n}
Un refinamiento de la partición P es otra partición P' que contiene todos los puntos de P y además otros puntos adicionales,también ordenados en orden de magnitud.
Suma de Riemann superior e inferior.
Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una funciónacotada definida en ese intervalo. Entonces:
La suma superior de f respecto de la partición P se define así:
S(f, P) = cj (xj - xj-1)
donde cj es el supremo de f(x) en elintervalo [xj-1, xj].
La suma inferior de f respecto de la partición P se define así:
I(f, P) = dj (xj - xj-1)
donde dj es el ínfimo de f(x) en el intervalo [xj-1,xj].


Dada f(x) en el intervalo [a,b] para encontrar el área bajo la curva: Dividimos la región "S" en franjas de anchos iguales. El ancho de cada franja es: 

Teniendolos intervalos: 
La ecuación para la suma de Riemann es la siguiente:



donde  haciendo de esta como un promedio entre la suma superior e inferior de Darboux.