Sumatoria De Riemann

´ ´ Miscelanea Matematica 33 (2001) 31–41

SMM

M´todo elemental para la evaluaci´n de la e o funci´n zeta de Riemann en los enteros o pares
Eugenio P. Balanzario
Instituto de Matem´ticas, UNAM-Morelia a Apartado Postal 61-3 (Xangari) 58089 Morelia Michoac´n a ´ MEXICO ebg@matmor.unam.mx

1.

Introducci´n. o

En esta nota vamos primero a repasar brevemente la historia inicial de lafunci´n zeta de Riemann. Esta historia est´ muy estrechameno a te ligada al trabajo matem´tico de L. Euler y en nuestra exposici´n, a o nosotros seguimos de cerca a R. Ayoub [3]. Este es el contenido de la segunda secci´n §2. Como segundo objetivo, vamos a exponer un m´todo o e elemental para establecer la bien conocida f´rmula o 1 1 1 π2 = 1+ 2 + 2 + 2 +··· 6 2 3 4 (1)

as´ como otras f´rmulasdel mismo tipo. Esto es, nosotros vamos a ı o evaluar la funci´n zeta de Riemann en los enteros positivos pares. El o t´rmino elemental significa que no usamos ning´ n concepto m´s avane u a zado que el c´lculo integral. Este segundo objetivo es la parte t´cnica a e de la nota, en donde el lector tendr´ que trabajar con esmero para a poder seguir nuestros c´lculos. En la ultima secci´n §7, retomamosel a ´ o car´cter narrativo de la nota al exponer los problemas relacionados con a el t´ ıtulo de nuestro trabajo, que a´ n hoy en d´ todav´ permanecen u ıa ıa sin soluci´n. o 31

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Eugenio P. Balanzario

2.

La funci´n zeta. o

Las series infinitas ocurren en matem´ticas desde hace siglos. As´ por a ı ejemplo, Arqu´ ımides (287–212 a.C.) pudo probar que la serie
∞

n=1

1 4nes convergente. El lector reconocer´ por supuesto, que ´ste es un caso a e de lo que hoy llamamos “la serie geom´trica”. Por otro lado, N. Oresme e (1323-1382) prob´ que la as´ llamada serie arm´nica o ı o
∞

n=1

1 n

es divergente. En 1650, P. Mengoli plante´ el problema de evaluar la o serie ∞ 1 n2 n=1 en caso de que ´sta fuera convergente. En la actualidad, nostros diriae mos que elproblema consiste en la evaluaci´n de ζ(2), ya que seg´ n o u explicaremos m´s adelante, ´sta es la notaci´n moderna para designar a e o la serie que le interes´ a Mengoli. En 1655, J. Wallis calcul´ el valor o o de ζ(2) con tres cifras decimales. ¡Usando la suma que define a ζ(2), esto requiere considerar los primeros 1071 t´rminos! Uno se pregunta e entonces si no hay formas m´s eficientes de procederpara evaluar ζ(2). a Tambi´n se ocuparon del problema de evaluar ζ(2) matem´ticos e a como G.W. Leibniz, James Bernoulli, John Bernoulli y C. Goldbach entre otros. En 1730, L. Euler comenz´ su trabajo sobre la funci´n zeta de Rieo o mann. Esta funci´n est´ definida para aquellos valores de la variable o a real x > 1 mediante la ecuaci´n o
∞

ζ(x) =
n=1

1 . nx

(2)

Antes de seguir elhilo de nuestra historia, hagamos un par´ntesis, e para explicar el porqu´ la funci´n zeta recibe el apelativo de Riemann e o y no el de Euler. Seg´ n veremos, las contribuciones de Euler al estudio u

´ ´ Evaluacion de la funcion zeta de Riemann

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de ζ(x) son interesantes, profundas e importantes. En el art´ ıculo [3], R. Ayoub examina estas contibuciones con detalle. Por otra parte, amediados del siglo XIX, B. Riemann consider´ la funci´n zeta como o o una funci´n de variable compleja, sin restringir a que su argumento o tomara s´lo valores reales, como lo hab´ hecho Euler en su tiempo y lo o ıa haremos nosotros en esta nota. Al permitir Riemann que el argumento de la funci´n zeta tomara valores complejos, se abri´ un mundo de o o posibilidades que la capacidad visionaria deRiemann pudo vislumbrar con claridad y que a´ n hoy en d´ 150 a˜ os despu´s, todav´ no acau ıa, n e ıa bamos de explorar. Esta es la raz´n por la cual el nombre completo de o la funci´n zeta es: “la funci´n zeta de Riemann”. o o Continuemos ahora nuestro relato sobre Euler y ζ(2). En 1731, Euler prob´ que o ∞ 1 2 ζ(2) = log 2 + 2 . n n2 2 n=1 (Nota muy al margen: ¡en esta f´rmula aparece el 2 seis...