Sumatorias

MATEMATICA GENERAL 10.052, HERALDO GONZALEZ S.

4.2 SUMATORIAS 4.2.1 Sumatoria simple Definición Una sucesión real es toda función con dominio un subconjunto de los números naturales y con valores en , simbólicamente, la sucesión “a” es a : N tal que n a (n) a n

Observación. Denotamos la sucesión “a” por a n sucesión Ejemplo Para a1 ( 1)1 21

n N

, donde a n es el término general de lala

sucesión 2 , a2

( 1) n 2 n 4 , a3

n n

,

los

tres 8

primeros

términos

son:

( 1) 2 2 2

( 1) 3 2 3

Definición. Sea a n

n N

una sucesión, definimos la sumatoria de los n primeros
n

términos de la sucesión, denotada
i 1 1 n

ai , por: ai a1 si n 1 an si n 1

ai
i 1

i 1 n 1

ai
i 1

Observación. Usando la definición de sumatoria y laspropiedades de los números reales podemos escribir:
n n 1 n 2 n 3

ai
i 1 i 1

ai a2 a3

an
i 1

ai

an an

1

an
i 1

ai

an

2

an

1

an

............

a1 Ejemplo.

... a n

2

1

an

3

Desarrolle y calcule
i 1

ai considerando la sucesión (2n 3) n

N

Solución
3 3

ai
i 1 i 1

(2i 3)

(2 1 3) (2 2 3) (2 3 3)

5 7 9

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¿Si nos interesa
i 1

ai ?. Necesitamos un poco más de teoría

4.2.1.1 Propiedades de la sumatoria simple Proposición. Sean (a n ) n N , (bn ) n N dos sucesiones y p
n n

, se cumple: p np n N entonces

a) Si a n b) Si (c n ) n
n

p
N n i1 N n i 1

n

N entonces
i 1

ai
i 1

es una sucesión tal que c n
n

pa n

ci
i 1

pai

p
i 1

ai an bn n N entonces

c) Si (d i ) n
n

es una sucesión tal que d n
n n

di
i 1 n

( ai ai 1 )
n r

bi )
i 1

ai
i 1

bi

d)
i 1 n

( ai ai
i j

an
r

a 0 ( Propiedad telescópica)

e)

ai
i j r

( Propiedad del reloj)

Demostración. Sólodemostraremos la propiedad b)
n n

Sea P (n) :
i 1

pai

p
i 1

ai P(k 1) V

Debemos demostrar: a) P(1) V b) P(1) , P(2) , ...., P(k ) V
1 1 1

a) P (1) es V ya que
i 1 r r

pai
i 1

ci

c1

pa1

p
i 1

ai
k 1 k 1

b) Si
i 1

pai

p
i 1

ai ,

r

k debemos demostrar que
i 1

pai

p
i 1

ai

Veámoslo
k 1 k 1

pai
i 1 i 1

ci

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k

ci
i 1 k

ck

1

pai
i 1 k

pa k

1

p
i 1 k

ai

pa k

1

p
i 1 k 1

ai

ak

1

p
i 1

ai

4.2.1.2 Algunas sumatorias importantes.
n

a) 1 2 3 4 ..... (n 1) n
i 1

i n2 n
3

n(n 1) 2
n i 1

b) 12 c) 1322 23

32 33

42 43

... (n 1) 2 ... (n 1) 3

i2 i3

n(n 1)(2n 1) 6 n 2 (n 1) 2 4

n i 1

Observación. Estas fórmulas que nos permiten sumar sin sumar, ya fueron demostradas por inducción, sin embargo, es necesario mostrar algún camino que nos lleve a deducirlas, como un ejemplo deduciremos la suma de los cuadrados de los primeros n naturales
n

Consideremos
i 1 n i 1

(i 1) 3, tenemos: 3i 2
n

(i 1) 3

n i 1

(i 3

3i 1)
i 1

i3

n i 1

3i 2

n

n

3i
i 1 i 1

1

Asumiendo conocida la suma de los primeros n naturales y considerando
n

además que al comparar
i 1 n

(i 1) 3 con

3 i 1

i 3 se simplifica su diferencia, podemos

despejar
i 1 n i 1

i 2 ; así: (i 1) 3
n i 1

(i 3

3i 2

n

3i 1)
i 1

i3

n i 1

3i 2n

n

3i
i 1 i 1

1

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n i 1

(i 1) 3

n i 1

i3
n i 1

n

3
i 1

i2

n

n

3
i 1

i
i 1

1

(n 1) 3 1 3

i2

3

n(n 1) 2
n

n

(n 1) 3 1 n 3

n(n 1) 2

3
i 1

i2

n i 1

i2

(n 1) 3...