Superficies Cuadraticas

Ecuaciones de la esfera
Ecuación cartesiana
En un sistema de coordenadas cartesianas en un espacio euclidiano tridimensional, la ecuación de la esfera unitaria (de radio 1), con centro en el origen,es:

Esta ecuación se obtiene considerando que en el punto M (x, y, z) de la esfera, el vector normal OM es igual a 1.
Generalizando, la esfera de radio r, de centro Ω (a, b, c) tiene como ecuación:La ecuación del plano tangente en el punto M (x', y', z') se obtiene mediante el desdoblamiento de las variables: en el caso de la esfera unitaria:

y en el segundo ejemplo:

Ecuación paramétrica
Enun espacio euclidiano tridimensional, los puntos de la superficie esférica pueden ser parametrizados de la siguiente manera:




donde r es el radio, (x0, y0, z0) son las coordenadas del centro y (θ,φ) son los parámetros angulares de la ecuación.
Ecuación cartesiana de un elipsoide
La ecuación de un elipsoide con centro en el origen de coordenadas y ejes coincidentes con los cartesianos, es:donde a, b y c son las longitudes de los semiejes del elipsoide respecto de los ejes x, y , z; son números reales positivos y determinan la forma del elipsoide. Si dos de estos semiejes son iguales, elelipsoide es un esferoide; si los tres son iguales, se trata de una esfera.
En la Geometría analítica, un paraboloide es una cuádrica, un tipo de superficie tridimensional que se describe medianteecuaciones cuya forma canónica es del tipo:

Los paraboloides pueden ser elípticos o hiperbólicos, según sea que sus términos cuadráticos (los que contienen variables elevadas al cuadrado, aquí indicadascomo x e y) tengan igual o distinto signo, respectivamente.
Paraboloide elíptico
Horno solar cuya superficie reflectora es un paraboloide de revolución.
Un paraboloide será elíptico cuando los términoscuadráticos de su ecuación canónica sean del mismo signo:

Si además es a = b, el paraboloide elíptico será un paraboloide de revolución, que es la superficie resultante de girar una parábola en...