Superficies cuadráticas

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Superficie Cuadrática

Una cuádrica o superficie cuadrática, es una hipersuperficie tridimensional representada por una ecuación de segundo grado con variables (coordenadas) espaciales. Se representa mediante la siguiente ecuación:
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Esta ecuación de la representación de superficies cuádricas, está referida a ejes que no son desimetría (ejes arbitrarios), donde al menos uno de los seis primeros coeficientes es “no nulo”. Dicha ecuación puede reducirse a una en la cual no figuren los productos entre las variables, pues mediante una traslación y haciendo una rotación adecuada de las coordenadas se pueden eliminar los términos que contienen las primeras potencias de las nuevas variables, resultando así una ecuación más simple yque es considerada como la ecuación canónica de la cuádrica, ésta se expresa así:
Ax2 + By2 + Cz2 + Dx + Ey + Fz + G = 0

Características de los Superficies Cuadráticas

Toda ecuación de la forma F(x,y,z)=K, siendo K una contante debe:

1. Estar presente las tres variables (x,y,z).

2. Ser una expresión polinómica de segundo grado.

3. Al menos dos de las variables debe estarelevadas al cuadrado.
Clasificación de las Superficies Cuadráticas

Las superficies cuadráticas se clasifican en seis grandes familias:

1. Esfera.

2. Elipsoides.

3. Paraboloides.

4. Hiperboloides.

5. Conos.

6. Cilindros.

Esferas

Si la ecuación general de la cuádrica se reduce a la forma: X2+Y2+Z2=R2

Se obtiene una superficie esférica con centroen el origen de coordenadas y radio R. En caso de que la esfera esté centrada en el punto (a,b,c,), la ecuación se expresa de la siguiente manera:

(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2

Cabe destacar que es necesario realizar el estudio del término independiente, despejando al mismo. Si el término independiente es “nulo”, entonces la ecuación representaría un punto en el espacio, en cambio si esdistinto de cero, se debe observar que una vez despejado presente el mismo signo de los términos cuadráticos, ya que en caso contrario , la ecuación no representaría lugar geométrico alguno.
Características de la Esfera

1. Sus tres trazas son circunferencias que comparten el mismo centro (centro de la esfera) y tienen el mismo radio (radio de la esfera).

2. Sus secciones circularestransversales son circunferencias.

Gráfica de la Esfera

Elipsoide

Se obtiene cuando los tres términos cuadráticos presentan igual signo pero valores diferentes. Su ecuación se expresa de la siguiente manera:

Dicha ecuación representa una elipsoide centrada en el origen, simétrica a cada uno de los tres planos. Sus intersecciones o trazas con los ejes coordenados son las siguientes:Características del Elipsoide

1. Al menos dos de sus trazas deben ser elipses que comparten el mismo centro (centro del elipsoide).

2. Su tercera traza puede ser otra elipse o una circunferencia, en cuyo caso, se dirá que es un elipsoide generado por revolución.

3. Las secciones transversales pueden ser elípticas o circulares.

Gráfica del Elipsoide

Paraboloides

Tienecomo característica principal que una de sus variables no aparece como término cuadráticos, es decir, presenta dos variables elevadas al cuadrado y la restante es lineal. Esto a su vez se subclasifican en tres grupos, que para ser distinguidos mediante su ecuación, se hace necesario observar los coeficientes de los términos cuadráticos.
Paraboloide Elíptico

Los coeficientes de los términoscuadráticos presentan igual signo pero valor diferente. Su ecuación es la siguiente:

Las intersecciones respecto a los planos paralelos a XY son elipses, mientras que para los planos paralelos a XZ y YZ son parábolas.

Características del Paraboloide Elíptico

1. Dos de sus trazas son parábolas que comparten el mismo eje, vértice y abren hacia el mismo lado.

2. sus secciones...
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