Superficies

2.4 SUPERFICIES
2.4.1 SUPERFICIES CILINDRICAS.
Sea C una paralela a π puntos que intersecan a curva de un plano π y sea l una recta no . Se define Superficie Cilíndrica al conjunto de perteneces a rectas paralelas a l y que C.

A C se la denomina Curva Generatriz (o Directriz) y a l se la denomina Recta Generatriz. Las superficies Cilíndricas que trataremos aquí serán aquellas que tienen laCurva Generatriz perteneciente a los planos coordenados y Rectas Generatrices Paralelas a los ejes coordenados. Es decir, si tienen una de la forma siguiente:

f ( x, y ) = 0 Curva Generatriz perteneciente al plano xy ,
Rectas Generatrices paralelas al eje z.

f ( x, z ) = 0 Curva Generatriz perteneciente al plano xz ,
Rectas Generatrices paralelas al eje y.

f ( y, z ) = 0 Curva Generatrizperteneciente al plano yz ,
Rectas Generatrices paralelas al eje x. Ejemplo 1
Graficar y − x 2 = 0 SOLUCIÓN. Se dibuja primero la curva y = x 2 en el plano xy y luego se trazan rectas paralelas al eje z siguiendo esta curva.
z

y = x2

y

x

1

Ejemplo 2
Graficar z − ln y = 0 SOLUCIÓN. Se dibuja primero la curva z = ln y en el plano zy y luego se trazan rectas paralelas al eje xsiguiendo esta curva.
z

z = ln y

y

x

Ejemplo 3
Graficar z − seny = 0 SOLUCIÓN. Se dibuja primero la curva z = seny en el plano zy y luego se trazan rectas paralelas al eje x siguiendo esta curva.

2

Ejemplo 4
Graficar z 2 + x 2 = 4 SOLUCIÓN. Se dibuja primero la curva z 2 + x 2 = 4 en el plano zx y luego se trazan rectas paralelas al eje y siguiendo esta curva.
z

z 2 + x2 =4

y

Ejercicios Propuestos 2.4
1. Bosqueje la superficie cilíndrica cuya ecuación se indica. a) b) c)
4z 2 − y 2 = 4 z = sen y y2 + z = 4

d) x 2 = y 3 e) y = z

f) z − e y = 0 g) y 2 + z 2 = 9

2.4.2 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN
Las Superficies de Revolución que trataremos aquí son aquellas que se generan al girar 360º una curva perteneciente a uno de los planos coordenados alrededorde uno de los ejes coordenados. Por ejemplo suponga que se tiene la curva z = f ( y ) (contenida en el plano ZY) y la hacemos girar 360º alrededor del eje y, entonces se forma una superficie de revolución, observe la figura:

3

z

r
r

y

x

La ecuación de la superficie de revolución se la deduce de la siguiente manera La sección transversal es circular, por tanto:

r= r=

(0 −0)

2

+ ( y − y ) + ( f ( y) − 0) = f ( y)
2 2

Como también se observa que:

(x − 0)

2

+ ( y − y ) + (z − 0) = x 2 + z 2
2 2

Entonces, igualando resulta:

x 2 + z 2 = [ f ( y )]

2

ECUACIÓN DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN CON CURVA GENERATRIZ x = f ( y ) (EN EL PLANO
z = f ( y ) (EN EL GIRADA ALREDEDOR DEL EJE “ y ”. xy )
O TAMBIÉN PLANO

zy ),

A, x + z se lellama Binomio de Circularidad.
2 2

En cambio, si la curva generatriz anterior la hacemos girar alrededor del eje z, obtendríamos otra superficie de revolución, observe la figura:

4

z

(0,0, z )

r
r

( x, y , z )

(0, f ( z ), z )

y = f (z )

y

x

Aquí en cambio:

r=
Y también

(0 − 0)

2

+ ( f ( z ) − 0) + (z − z ) = f ( z )
2 2

r=

(x − 0)

2

+ ( y− 0) + (z − z ) = x 2 + y 2
2 2

Entonces, igualando resulta:

x 2 + y 2 = [ f ( z )]

2

ECUACIÓN DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN CON CURVA GENERATRIZ x = f (z ) (EN EL PLANO xz ) O TAMBIÉN y = f (z ) (EN EL PLANO zy ), GIRADA ALREDEDOR DEL EJE “ z ”.
2 2

El Binomio de Circularidad seria x + y . La curva anterior no puede ser girada alrededor del eje “ x ”. ¿POR QUÉ?

La ecuación deuna superficie de revolución con curva generatriz y = f ( x) (en el plano xy ) o z = f ( x) (en el plano zx ) girada alrededor del eje “ x ”, sería:

y 2 + z 2 = [ f (x)]

2

¡DEDUZCALA!

5

Ejemplo 1
Encontrar la ecuación de la superficie de revolución que se generar al girar y = x alrededor del eje y . SOLUCIÓN. Primero grafiquemos la curva generatriz en el plano xy y formemos la...