Superficies

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SUPERFICIES EN R3

1.
1.1.

Superficies en R3
Superficies cuadr´ticas a

En general, una superficie cuadr´tica es aquella representaci´n en el espacio de una ecuaci´n del tipo Ax2 + a o o By 2 +Cz 2 +Dxy +Exz +F yz +Gx+Hy +Iz +J, en donde A, B, C, D, E, F, G, H, I, J representan constantes reales. En el presente curso se trabajar´ unicamente con ecuaciones de laforma a´ Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dx + Ey + F z + G = 0.

Algunos ejemplos de superficies cuadr´ticas son los siguientes: a x2 y2 z2 + 2 + 2 = 1. a2 b c Dicha superficie interseca a los ejes coordenados en los puntos (±a, 0, 0), (0, ±b, 0), (0, 0, ±c). Si en la Elipsoide: La forma can´nica de la ecuaci´n de un elipsoide centrado en el origen es o o ecuaci´n se sustituye z = 0, obtenemos la intersecci´n(traza) de dicha superficie con el plano XY , la o o x2 y2 cual es la elipse 2 + 2 = 1 en dicho plano; lo mismo sucede al cambiar x = 0 y y = 0. La gr´fica de a a b dicha ecuaci´n tiene la siguiente forma: o

Figura 1: Elipsoide con ecuaci´n o

x2 y2 z2 + 2 + 2 = 1. a2 b c

x2 y2 z2 + 2 − 2 = 1 (dos coeficientes positivos y 2 a b c x2 y2 uno negativo). Si se sustituye z = 0 se tiene laecuaci´n 2 + 2 = 1, es decir, la intersecci´n con el plano o o a b z2 x2 XY es una elipse (y con cualquier plano horizontal z = k). Si se hace y = 0, se obtiene 2 − 2 = 1, la a c cual es la ecuaci´n de una hip´rbola, al igual que si se sustituye x = 0, por lo que la intersecci´n con los o e o Hiperboloide de una hoja: La ecuaci´n tiene la forma o planos Y Z y XZ son hip´rbolas (y con cualquier planovertical x = k ´ y = k). N´tese adem´s, que en e o o a este caso, la superficie no interseca al eje Z, e interseca a los otros ejes en los puntos (±a, 0, 0), (0, ±b, 0). La gr´fica tiene entonces la siguiente forma: a Prof. Dar´ Mena Arias ıo I-2011 1

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Figura 2: Hiperboloide de una hoja con ecuaci´n o

x2 y2 z2 + 2 − 2 = 1. 2 a b c

Hiperboloide dedos hojas: La ecuaci´n es del tipo o

x2 y2 z2 − 2 − 2 = 1 (dos coeficientes negativos c2 a b y uno positivo). Interseca al eje Z en (0, 0, ±c) y no interseca a los otros ejes. No interseca al plano k2 x2 y2 XY , pero n´tese que si k > c, la intersecci´n con el plano z = k es la curva 2 − 2 − 2 = 1, es o o c a b x2 y2 k2 decir, 2 + 2 = 2 − 1, la cual es una elipse. Las intersecciones con losotros planos corresponden a a b c hip´rbolas (y en general con cualquier plano vertical). e

Figura 3: Hiperboloide de dos hojas con ecuaci´n o

z2 x2 y2 − 2 − 2 = 1. 2 c a b

Paraboloide el´ ıptico: La ecuaci´n tiene la forma o

x2 y2 z + 2 = . Interseca a los ejes coordenados en el 2 a b c origen. La intersecci´n con el plano XY es un punto, pero la intersecci´n con cualquier planohorizontal o o z = k, tal que kc > 0 es una elipse. Las intersecciones con los planos Y Z y XZ son par´bolas (y en a

general con cualquier plano vertical). Tiene forma de un “taz´n” tal que si c > 0 el paraboloide se “abre” o hacia arriba, y si c < 0 se “abre” hacia abajo.

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Figura 4: Paraboloide el´ ıpticocon ecuaci´n o

x2 y2 z + 2 = , c > 0. 2 a b c

Paraboloide hiperb´lico: La ecuaci´n es del tipo o o

y2 x2 z − 2 = . Tiene forma de silla de montar. La b2 a c traza sobre el plano XY es una hip´rbola (y con cualquier plano horizontal), mientras que la intersecci´n e o con los otros dos planos son par´bolas (y con cualquier plano vertical), que difieren en concavidad. Para a una mejor ideav´ase la figura. e

Figura 5: Paraboloide hiperb´lico con ecuaci´n o o

y2 x2 z − 2 = , c > 0. b2 a c

x2 y2 z2 + 2 − 2 = 0. Las intersecciones con planos horizontales a2 b c z = k, k = 0 son elipses, la intersecci´n con un plano vertical que pasa por el origen son dos rectas o Cono el´ ıptico: La ecuaci´n es del tipo o concurrentes, y con cualquier otro plano vertical es una hip´rbola. De...