Superficies

U.N.A.M
Facultad de estudios superiores Cuautitlán
Calculo Vectorial
“Superficies”


Sevilla García José Alejandro
310316136
Grupo: 2261
7/03/14


Superficies cuadráticas

Las secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola tienen su generalización al espacio tridimensional en elipsoide, paraboloide e hiperboloide.

La gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables se conocen como superficies cuadráticas, salvo casos degenerados.


Observación: en la ecuación de segundo grado  deliberadamente no hemos incluido los términos mixtos ,  y , pues la presencia de estos genera superficies con rotación, tema que no trataremos en el curso
 Elipsoide
La gráfica de la ecuación: 



corresponde a un elipsoide. Es simétricocon respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene intersección con los ejes coordenados en ),  y .La traza del elipsoide sobre cada uno de los planos coordenados es un único punto (! ) o una elipse. La figura 1 muestra su gráfica.


Figura 1. Elipsoide

 Paraboloide elíptico
La gráfica de la ecuación 



es un paraboloide elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales  sonelipse : 



Sus trazas sobre planos verticales, ya sean  o  son parábola. 

Figura 2. Paraboloide elíptico

 Paraboloide hiperbólico
La gráfica de la ecuación: 




es un paraboloide hiperbólico. Sus trazas sobre planos horizontales son hipérbolas o dos rectas  (). Sus trazas sobre planos verticales paralelos al plano  son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las trazassobre planos verticales paralelos al plano  son parábolas que abren hacia arriba. Su gráfica tiene la forma de una silla de montar, como se observa en la figura 3.

Figura 3. Paraboloide  hiperbólico

Cono elíptico


La gráfica de la ecuación: 



es un cono elíptico.Sus trazas sobre planos horizontales  son elipses.Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hipérbolas o un par derectas.Su gráfica se muestra en la figura 4. 
 

Figura 4. Cono elíptico

 Hiperboloide de una hoja
La gráfica de la ecuación: 



es un hiperboloide de una hoja.Sus trazas sobre planos horizontales son elipses 




Sus trazas sobre planos verticales son hipérbolas o un par de rectas que se intersecan (!). Su gráfica se muestra en la figura 5.
.

Figura 5. Hiperboloide de una hoja Hiperboloide de dos hojas
La gráfica de la ecuación: 



es un hiperboloide de dos hojas.Su gráfica consta de dos hojas separadas.Sus trazas sobre planos horizontales  son elipses y sobre planos verticales son hipérbolas (figura 6).


Figura 6. Hiperboloide de dos hojas

Ejemplo 1
Identifique cada una de las siguiente superficies cuadráticas: 
a.)  
b.) 

Solución
a.)Dividiendo por 4 la primera ecuación obtenemos: 




lo cual corresponde a un hiperboloide de dos hoja, con el eje  como eje de simetría. 
b.) Completando el cuadrado en  para la segunda superficie obtenemos : 




que corresponde a un paraboloide elíptico con eje paralelo al eje . 




Superficies cilíndricas
Una buena parte de las superficies con las que trabajaremos en el curso segeneran a partir de una curva que se mueve en el espacio (llamada generatriz), siguiendo una trayectoria determinada (llamada directriz) . Trazar la gráfica de una superficie de este tipo es muy simple, la idea es arrastrar la generatriz en la dirección de la directriz, el movimiento de la generatriz forma la superficie por la traza que va dejando. En la figura 7,  la curva generatriz es una párabola ycomo  directriz se usa el vector u = ( 0, 5, 0). En el software para este ejemplo, se puede cambiar la curva y la trayectoria u.
 

Figura 7

cilindro- Sea  una curva sobre un plano  llamada directriz y sea  una recta no paralela al plano , llamada generatriz. Entonces el conjunto de todos los puntos en las rectas paralelas a  que intersecan a  es un cilindro

Observación : esta...