Superficies

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Facultad de Ingeniería

SUPERFICIES
Se llama superficie al lugar geométrico de todos los puntos que tienen representación grafica en
el espacio de 3 dimensiones y cuya relación matemática representativa es de una sola
ecuación del tipo f(,x,y,x) = 0.
Conviene hacer notar que no todas las ecuaciones de este tipo:
2X² + Y² + Z² = 0
No representan una superficie. Entonces, ¿quérepresenta?
Representa un punto (origen) ya que solo se satisface para X=Y=Z= 0.
Por otra parte, la ecuación:

3X² + 2Y² + 4Z² = -3, ¿qué representa?
NO representa nada, ya que la suma de las tres cantidades positivas NO puede dar como
resultado un valor negativo.

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SUPERFICIES
Clasificación de algunos tipos de superficies
a) Superficies alabeadas:Son aquellas que no están contenidas en un plano
Superficies cuádricas o cuádraticas: Son aquellas que tienen su representación analítica del
tipo:

AX² + BXY + CY² + DXZ + EZ² + FYZ + GX +HY + IZ + J = 0
Estas se sub-clasifican en:
•

Esferas

•

Hiperboloide de uno y dos mantos

•

Paraboloides circulares y de revolución

•

Paraboloides elípticos

•

Paraboloideshiperbólicos

•

Degeneraciones de las anteriores

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SUPERFICIES
Clasificación de algunos tipos de superficies
c) Superficies cilindricas: Son aquellas que se forman con el movimiento de una recta paralela a
un vector dado y que se apoya en una curva fija

d) Superficies reglada: Son las superficies que pueden generarse por medio de rectas, por
ejemplo:cilindros y conos.

e) Superficie de revolución: Son aquellas que se generan con el giro de una curva plana llamada
meridiana, alrededor de un eje contenido en el mismo plano. Algunos ejemplos de estas
son las esferas, cilindros circulares rectos, conos circulares rectos y los paraboloides
circulares rectos, entre otros.

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SUPERFICIES
SuperficiesCilíndricas

Son aquellas que se forman con el
movimiento de una recta paralela a
un vector dado y que se apoya en
una curva fija.

c
u

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SUPERFICIES
Superficies Cónicas

Z

D

D PL YZ

V ( 12, -5, -2 )

C
2

o
Y
-4

Son

G

V

X

aquellas que se generan con el
movimiento de una recta que pasa
siempre por un punto fijollamado vértice
y que se apoya en una curva fija.

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SUPERFICIES
Superficies de revolución

z
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z

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f(x) = sen x + 2

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SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN
Z
z

x = r cos

z 2 = 16 y
C:

P

D:

r

z = r sen

x=0
oy=

p

Y
X

r z

16 y 4

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Z

D

D:
-4

o

4

Y

y2 z2
16 4
x 0

1

X

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D

Z

D:
-4

o

4

Y

y2 z2
16 4
x 0

1

X

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Z

o
Y

X

AVM

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ELIPSE // AL PLANO XY
Gira alrededor de sueje focal

Z

G
4

D

Y
10

6
X

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CURVAS DE NIVEL

Z

Y

X

AVM

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Curvas de nivel
Z

Y

X

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Curvas de nivel
Z

Y

X

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Curvas de nivel

Superficie

Mapa de contorno

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ELIPSE // AL PLANO XY
Gira alrededor de su eje focal

Z

G
4

D

Y
10

6
X

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ELIPSOIDE ELÍPTICO

G
D
D...