T11

Cap´ıtulo 11

´
´
INTEGRACION.
CALCULO
DE
´
AREAS
11.1.

Introducci´
on

Si el problema del c´
alculo de la recta tangente llev´
o a los matem´aticos del siglo XVII al desarrollo de
las t´ecnicas de la derivaci´on, otro problema, el del c´
alculo del a´rea encerrada por una curva, propici´
o el
desrrollo de las t´ecnicas de integraci´
on.
Se trataba, por ejemplo, de hallar el ´area encerrada bajola curva f (x) entre los puntos a y b:

Se conoc´ıan f´
ormulas para recintos de forma igual a figuras geom´etricas(rectangulares, triangulares,
e incluso algunas de curvas espec´ıficas), pero si la curva no ten´ıa forma regular, no se conoc´ıa, en
general, su a´rea exacta.
El c´
alculo integral da respuesta a esta y otras cuestiones.

11.2.

Primitivas. Integral indefinida

Dada un funci´
on f (x),sabemos calcular su derivada f (x), e incluso sus derivadas sucesivas, f (x),
f (x), etc.
Sin embargo ahora nos planteamos el problema rec´ıproco:
Dada una funci´
on f (x), se trata de encontrar otra, F (x), tal que al derivar esta u
´ltima funci´
on,
obtengamos la funci´
on inicial, es decir:
F (x) = f (x)
Veamos un ejemplo:
Tomemos la funci´on f (x) = 2x.
Se trata de encontrar una funci´
on F(x) tal que al derivarla nos de f (x).

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CAP´ITULO 11. INTEGRACION.
DE AREAS

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Si pensamos un poco, llegamos a que tal funci´
on puede ser:
F (x) = x2
pues su derivada es precisamente f (x) = 2x.
Ahora bien, no es F (x) la u
´nica funci´
on que cumple eso.
Tomemos esta otra:
F (x) = x2 + 43
Tambi´en su derivada es f (x) = 2x.
Esto nos hace ver que no s´
olo hay una funci´
onque cumple lo requerido, sino infinitas, sin m´
as que
a˜
nadir cualquier n´
umero. Esto se expresa como:
F (x) = x2 + C
Una funci´
on F (x) como la que hemos encontrado se llama primitiva de f (x), y hemos visto que si una
funci´
on tiene una primitiva, entonces tiene infinitas.
Llamaremos integral indefinida de la funci´
on al conjunto de todas estas primitivas.
Lo representaremos, en el casoanterior, como:
2x dx = x2 + C,

C∈R

Definici´
on: Dada una funci´
on f (x), se llama primitiva de f (x) a otra funci´
on F (x) tal que:
F (x) = f (x)
Se denomina integral indefinida de f (x) al conjunto de todas las primitivas (hay infinitas) de f (x), y
se representa por:
f (x) dx = F (x) + C,

C∈R

As´ı, el problema de calcular una primitiva de una funci´
on es inverso al de calcular una derivada;como
son operaciones inversas la suma y la resta, el producto y el cociente, la potenciaci´
on y la radicaci´
on.

´ CALCULO
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CAP´ITULO 11. INTEGRACION.
DE AREAS

11.3.

195

Primitivas inmediatas

De modo an´
alogo al caso de las derivadas, debemos recordar algunas primitivas de las funciones
m´as usuales:
1. − k dx = kx + C, C ∈ R, k ∈ R
xn+1
+ C,
n+1

C ∈ R,

2. −

xn dx =

3. −

x−1 dx =

4.−

ax dx =

5. −

ex dx = ex + C,

6. −

sen x dx = − cos x + C,

7. −

cos x dx = sen x + C,

C∈R

8. −

1
dx = arctan x,
1 + x2

C∈R

9. −

1
√
dx = arc sen x + C,
1 − x2

1
dx = ln x + C,
x

ax
+ C,
ln a

, n ∈ R,

n = −1

C∈R

C∈R
C∈R
C∈R

C∈R

−1
dx = arc cos x + C, C ∈ R
1 − x2
Estas primitivas permiten calcular algunas integrales sencillas.
Adem´as es conveniente la utilizaci´on de las dospropiedades siguientes:
10. −

√

1.
k · f (x) dx = k ·

k∈R

f (x) dx,

Esta propiedad indica que si hay un n´
umero multiplicando a toda la integral, entonces se puede
sacar fuera de la integral.
2.
(f (x) ± g(x)) dx =

f (x) dx ±

g(x) dx

Lo que indica esta propiedad es que si tenemos una suma (o resta) de dos funciones, entonces
podemos separar la integral en la suma (o resta) de dosintegrales.
Utilizando estas propiedades de manera combinada, se calculan las primeras integrales sencillas.
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo: Calcular las integrales siguientes:
a)

√
x dx

b)

(15x4 + 10x3 − 12x2 − 8x + 5) dx

c)

2
+ ex − 3 cos x
x

dx

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CAP´ITULO 11. INTEGRACION.
DE AREAS

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Para la primera integral , expresamos la ra´ız en forma de potencia y utlizamos la integral...