Tabla Decr Mc3balt Desarrollo
TABLA DE
DECREMENTOS MÚLTIPLES
(Continuación)
HIPÓTESIS RELATIVA A LATASA INSTANTÁNEA DE MORTALIDAD (5º parte)
Oscar Aranda M
UNAM, Fac. Ciencias
28 Septiembre, 2011
If you are out to describe the truth, leave elegance to the tailor.
. Albert Einstein
Los desarrollos presentados a mediados del siglo XIX por Antoine Augustin Cournot
y William Matthew Makeham, centran suestudio exclusivamente en el concepto de
mortalidad, producida por la causa (k) de decremento e independiente de otras causas,
sin embargo, tiempo después se observó que el modelo se puede ampliar para
proponer una teoría generalizada, donde al establecer varias causas de “salida” (k),
diferentes e independientes de un colectivo o grupo de personas, el concepto de
“muerte” sólo formará parte deuna causa; estableciendo así el concepto de
“remoción” o “salida” de la persona de edad x dada la causa (k).
Por lo tanto, si referimos a lz(τ ) , como el grupo expuesto a (τ ) causas de decremento,
diferentes e independientes, “sin particularizar quienes ya están predestinados a la
causa k de decremento”, como sucedía en los desarrollos anteriores; es válido
entonces, considerar la expresión (L),al indicar la probabilidad de que la persona de
edad x, expuesto a (τ ) causas de decremento a cada t-ésimo de tiempo, éste sea
“removido” exclusivamente por la causa (k), en el periodo de n-años, es decir.
n
(k )
n
qx = ∫ t px(τ ) ⋅µ x( k ) (t )dt
0
(k )
En particular, la función µ x (t ) es el punto de partida para graduar el efecto de
“salida” o “remoción”; al redefinir la expresión(XLVIII), con z = x + t , t ≥ 0 , se tiene
µ x( k ) (t ) = −
1 d (k )
lx +t
lx +t dt
(τ )
(LI)
En virtud de que la única información disponible de la población en estudio es anual,
se establece la hipótesis que ésta, sigue una distribución uniforme de “salidas” o
“remociones” por cada causa (k), por lo tanto, la mejor aproximación para lx( k+)t ,
∀ t ∈ [ 0,1] , se obtiene mediante interpolaciónlineal, donde,
lx( +)t ≅ lx( ) − t ⋅ d x(
k
Oscar Aranda M
k
41
k)
(LII)
Fac. Ciencias UNAM
d x( k ) , representa el número de “salidas” entre las edades (x) y (x+1) originado por la
causa (k) de decremento.
al sustituir la expresión (LII) en (LI)
µ x( k+)t = −
=−
(
1 d (k )
k
lx − t ⋅ d x( )
lx +t dt
(τ )
1
(τ )
lx +t
( −d ( ) )
k
(LIII)
x
d x( )
;
τ
lx( +)t
k
=
)
∀ t ∈ [ 0,1]
eintegrando con respecto al tiempo en el rango anual de estudio
d x( )
∫0 µ x+t dt = ∫0 l (τ ) dt
x +t
1
1
(k )
k
(LIV)
Al considerar los mismos supuestos de la función lx( k+)t para la función lx(τ+)t , se redefine
la expresión anterior, como
1
1
(k )
(k )
∫ µ x+t dt = d x ∫
0
l
1
dt
− t ⋅ d x(τ )
(τ )
0 x
considerando el cambio de variable
u = lx( ) − t ⋅ d x(
τ
τ)
y du = − d x(τ )dt , se obtiene
1
(k )
∫ µ x+t dt =
0
d x( k ) − d x(τ )
dt
−d x(τ ) ∫0 lx(τ+)t
=−
1
d x( k ) (τ ) 1
ln lx +t
t =0
d x(τ )
d x( k )
= − (τ ) ln px(τ )
dx
d x( )
(τ ) (τ )
d
k
= − ln px
Oscar Aranda M
(LV)
x
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Fac. Ciencias UNAM
Al considerar en la expresión (XLIII), el cambio de variable z = x + t , con t ∈ [ 0,1] y
al sustituir en la expresión (XLIV)
(τ )
px
1(1)
m
2
= exp − ∫ µ x +t + µ x( +)t + ⋅⋅⋅ + µ x( +t) dt
0
(
)
1
1
1 (1)
m
( 2)
= exp − ∫ µ x +t dt − ∫ µ x +t dt − ⋅⋅⋅ − ∫ µ x( +t) dt
0
0
0
1 (1) 1 ( 2)
1 ( m)
= exp − ∫ µ x +t dt − ∫ µ x +t dt + ⋅⋅⋅ + − ∫ µ x +t dt
0
0
0
(LV.a)19
= p '(x ) ⋅ p '(x ) . p '(x ) ⋅⋅⋅ p '(x
1
2
m
m)
3
= Π p '(x )
k
k =1
Donde p '(xk ) , representa laprobabilidad anual e independiente de “permanencia”
en el grupo para una persona de edad x, dada la causa (k) de decremento, en
particular.
(k )
p 'x
1 (k )
= exp − ∫ µ x +t dt
0
(LVI)
Su complemento, simbolizado por q '(xk ) , representa la probabilidad anual e
independiente de “salida” o “remoción” en el grupo para una persona de edad (x),
dada la causa (k) de decremento, “sin...
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