Tablas De Integrales

RESUMEN DE INTEGRALES INDEFINIDAS

DEFINICIÓN: Calcular la primitiva de una función es calcular otra función cuya derivada queda la función original, es la operación inversa de derivar. Si bien derivar es bastante mecánico, calcular primitivas es en general complejo y requiere muchas veces de una intuición especial que se desarrolla después de haber resuelto de forma ordenada muchos tipos deprimitivas. Se define la integral indefinida de una función como el conjunto de todas sus primitivas. ò f (x )dx = F (x ) + C sí y solo sí F '(x ) = f (x ) , C se le llama constate de integración. Es fácil comprobar que para cualquier valor de C la derivada del segundo miembro es siempre f(x).
INTEGRALES INMEDIATAS:

1.-

ò[K
n

1

f ( x) ± K 2 g ( x)] dx =K1 ò f ( x)dx ± K 2 ò g ( x)dxx n +1 + C , n ¹ -1 ; 2.- ò x dx = n +1 n +1 é f ( x )ù n ë û + C , n ¹ -1 3.- ò é f ( x )ù f ¢ ( x ) dx = ë û n +1
4.5.-

ò x dx = ln x + C ò

1

f ¢( x) dx = ln f ( x ) + C f ( x)
x x

6.7.-

ò e dx = e òe
òa
f ( x)

+C
f (x)

f ¢ ( x ) dx = e

+C

8.-

f ( x)

a () f ¢ ( x ) dx = + C, a > 0 , a ¹ 1 Ln ( a )
f x

9.-

ò senxdx = - cos x + C
ë û ë û ò sen é f (x ) ù f ¢ ( x ) dx = - cos é f ( x )ù + C

10.11.-

ò cos xdx = sen x + C
ë û ë û ò cos é f ( x ) ù f ¢ ( x ) dx = sen é f ( x )ù + C

12.-

f ¢( x) dx = ò (1 + tg 2 ( f ( x ) ) ) f '( x)dx = tg é f ( x ) ù + C 13.- ò 2 ë û cos é f ( x ) ù ë û f ¢( x)
2

14.-

ò sen
ò ò

é f ( x )ù ë û

dx = -cotg é f ( x ) ù + C ë û dx = arcsen é f ( x ) ù + C ë û

15.-

f ¢( x) 1 - é f ( x)ù ë û - f ¢( x) 1 - é f ( x )ù ë û f ¢( x)
2 2

16.-

dx = arcos é f ( x ) ù + C ë û

17.-

ò 1 + é f ( x )ù
ë û

2

dx = arctg é f ( x ) ù + C ë û

18.-

òa

2

1 1 é xù dx = arctg ê ú + C 2 +x a ëaû

CAMBIO DE VARIABLE:

Este método permite transformar muchas integrales en otras prácticamente inmediatas, la fórmula es muy sencilla: dt = f '(x ) ® f '(x )dx = dt dx dxx = g (t ) ® = g '(t ) ® dx = g '(t )dt dt f (x ) = t ® Se trata de eliminar en la integral la variable x, quedando una integral en la nueva variable t, con lo cual es obligatorio una vez resuelta esta última integral deshacer el cambio y dejar el resultado en función de x. Una idea que suele funcionar bien para encontrar un posible cambio es buscar dentro de la integral una función que suderivada (salvo constantes que aparezcan multiplicando) esté multiplicando al dx, si a esa función la llamamos t normalmente la integral queda más sencilla.

INTEGRACIÓN POR PARTES:

Si u y v son funciones de x tales que [ u = f(x), v = g(x) ], por la fórmula de la diferencial de un producto de funciones, tendremos: d(u.v) = u.dv + v.du Þ u.dv = d(u.v) – v.du, de donde, integrando en ambos miembros:òu.dv = òd(u.v) - òv.du, con lo que nos quedará la fórmula de la integración por partes:

ò u·dv = u·v - ò v·du
Es importante darse cuenta de que la función que escojamos como u hay que saber derivarla, lo cual no suele ser un problema, pero la que escojamos como v hay que saber integrarla, esto limita bastante la elección. Es típico este método en los siguientes casos: 1.- Polinomio porfunción exponencial. 2.- Polinomio por función trigonométrica (seno- coseno). 3.- Exponencial por trigonométrica (suele salir cíclica).

.

También se puede intentar una integración por partes si dentro de la integral hay logaritmos o arcos de funciones trigonométricas, en este caso se escoge la función que no sabemos integrar como u.

INTEGRALES RACIONALES:

Son de la forma

ò Q(x ) dx,P( x )

siendo P (x ) y Q(x ), polinomios de coeficientes

reales y exponentes naturales.
Ante integrales de este tipo interesa una previa y rápida comprobación de que no se trata de una integral inmediata de tipo logarítmico, ya que en este caso su integración, como ya vimos, es rápida. De no ser de este tipo, el proceso general para su resolución es el siguiente:

A) El grado de P(x) es...