Taller 2 Algebra Lineal

Taller 2

Profesor: Miguel Olivares
Grupo: “7”

23/05/2012
Integrantes:
Francisco Castillo
Duilio Bacigalupo
Sebastián Droppelmann
Pablo Cáceres
Ignacio Gutiérrez


Profesor: Miguel Olivares
Grupo: “7”

23/05/2012
Integrantes:
Francisco Castillo
Duilio Bacigalupo
Sebastián Droppelmann
Pablo Cáceres
Ignacio Gutiérrez




Índice

Introducción 2
Desarrollo 3Conclusiones 8
Bibliografía 8

Introducción

Los sistemas dinámicos discretos son sistemas cuyo comportamiento evoluciona en el tiempo. El comportamiento de los sistemas lineales puede ser modelado en base al uso del álgebra lineal, que representa una guía para encontrar la solución al desarrollo de estos sistemas en el largo plazo. Existen diversos problemas que pueden modelarse como unsistema dinámico, entre ellos la evolución o crecimiento de una población, un sistema depredador-presa o problemas de ingeniería en donde intervienen fórmulas de recurrencia para la interpretación de un estado del sistema.
Sin embargo, las aplicaciones de los sistemas dinámicos en general van mucho más allá. Por ejemplo: planeación estratégica y corporativa, desarrollo de procesos de negocios,administración pública y política, modelamiento biológico y médico, energía y ambiente, desarrollo de teorías en ciencias naturales y sociales y toma de decisiones dinámicas, entre otras.
En este informe se analizarán dos problemas relacionados con el modelamiento de un juego de escalones basado en las combinaciones posibles de llevar a cabo el juego. En estos problemas las combinaciones posibles estánrelacionadas entre sí, por lo que se determinan fórmulas de recurrencia que explican que una combinación depende de las anteriores.
Gracias al uso del álgebra lineal y la diagonalización matricial, la solución se expresa en términos de la situación inicial y vectores que determinan el comportamiento en cualquier momento del sistema.
Específicamente, en el primer problema se analiza la recurrenciade un elemento del sistema que depende de los dos anteriores, y en el segundo se analiza cuando éste depende de los 3 estados anteriores. La solución a los problemas se desarrolla mediante el software matemático Octave, y en la conclusión se explica la relación que existe entre la cantidad de elementos dependientes en la fórmula de recurrencia y el tipo de matriz que se usa para ladiagonalización.

Desarrollo
1.
vk+1=Avk*
vk=xkxk+1 , vk+1=xk+1xk+2 , xk+2=xk+1+xk⇒vk+1=xk+1xk+1+xk
xk+1xk+1+xk=0111∙xkxk+1
A=0111
x1=1, x2=2, x3=3
a) Por inducción:
Pn: vn+1=Anv1
1. P1: v2=A1v1
x2x3=0111x1x2⟹23=011112⟹23=0∙1+1∙21∙1+1∙2=23=v2
2. Suponemos verdadero Pn: vn+1=Anv1
3. Por demostrar: Pn+1: vn+2=An+1v1
Sabemos, por hipótesis que: vn+1=Anv1
vn+1=Anv1 /A∙
A∙vn+1=A∙Anv1
Por*, sabemos que Avk=vk+1, por lo tanto:
vn+2=An+1∙v1
Por lo tanto, Pn+1 queda demostrado.
De 1, 2 y 3, Pn: vn+1=Anv1 es verdadero.

b) An=P∙Dn∙P-1
Se define la matriz A.
octave:1> A=[0 1;1 1];

Se encuentra la matriz de paso “V” y la matriz diagonal “D” de valores propios.
octave:2> [V,D]=eig(A)
V =
-0.85065 0.52573
0.52573 0.85065
D =
Diagonal Matrix
-0.618030
0 1.61803

Se invierte V para encontrar V-1 (V2).
octave:3> V2=inv(V)
V2 =
-0.85065 0.52573
0.52573 0.85065

Se expresa An=V∙Dn∙V2.
An=-0.850650.525730.525730.85065∙-0.61803n001.61803n∙-0.850650.525730.525730.85065

c)
vk+1=b1∙λ1k∙V1'+b2∙λ2k∙V2'
B=b1b2=P-1∙V1
V1=x1x2=12
P-1=V2=-0.850650.525730.525730.85065

Se define el vector V1.
octave:4>V1=[1;2];

Se calcula el vector B=P-1∙V1.
octave:5> V2*V1
ans =
0.20081
2.22703

Fórmula para xk:
vk+1=xk+1xk+2=0.20081∙-0.61803k∙-0.850650.52573+2.22703∙1.61803k∙0.525730.85065
xk+1=1.17082∙1.61803k-0.17082∙-0.61803k
xk=1.17082∙1.61803k-1-0.17082∙-0.61803k-1

d) Se evalúa xk en k=21:

octave:6> 1.17082*(1.61803^20)-0.17082*(-0.61803^20)
ans = 1.7710e+004

x21=17710...