taller determinantes

ALGEBRA LINEAL
TALLER II DETERMINANTES
Universidad Nacional de Colombia
Departamento de Matem´ticas
a
Marzo de 2013
1. Considere las siguientes matrices: 



30
0
−2 7 6
A =  2 −5 1
B =  5 1 −2 
1 9 −4
384


1 −2 3
1
(
)
 5 −9 6
3
21

D=
E=
 −1 2 −6 −2 
−1 3
2
8
6
0
Calcular:
a. det(At B 2 )
e. det(C − 3I2 )

2. Encontrar x ∈ R quesatisfaga:
10
−3
x
−1
2x
−6
a.
=
3 1−x
1 3 x−5

c.

1
1
1
x
3 x+2
3 2x + 1

1
1
x2
x3
2x + 1 3x
x2 + 2x 3x2



10
A= 2 0
00

con

C=



F =



c. det(E )
d.det(F −3 )
−1
e. det(C DC )

b. det(C + 2D)
d. det(adj (A))

b. det(A − xI ) = 0 ,

(


−1
1
−1

=0

3. Determinar si la proposic´n es verdadera o falsa (JUSTIFICAR)
o
A, B ∈Mn×n .
a. det(AAt ) = det(A2 )
b. Si A es antisim´trica, entonces det(A) = 0
e
c. Si A es ortogonal, entonces det(A) = 1
d. Si det(A) = 0 ,entonces A = 0
1

−5 6
12

1
3
−2 −7
0
0
0
0
00

)

15
0 −4
10
21
01

3
2
1
1
1








e. det(A + B ) = det(A) + det(B )
f. Si Ak = On×n para alg´n k entero positivo, entonces A es singular.
u
g. Si det(A) = −2,entonces el sistema AX = 0 tiene solamente la soluci´n
o
trivial.
h. Si A es idempotente, entonces det(A) = 0
i. Si B = P AP −1 y P es no singular, entonces det(A) = det(B )
j. Si A y B sonmatrices no singulares, entonces A + B es no singular.
k. det(AB ) = det(BA)
l. M y N son matrices 3 × 3 tales que det(2M −1 N ) = 12 y det(N ) = 3,
1
entonces det(M ) = 2
ab
m. x y
st
n. Si

ap
x

yb
c
z=x a
zc
u
b
q
y

c
r
z

t
s
u

= 6, entonces

a+x b+y
3x
3y
−p
−q

c+z
3z
−r

= −18

4. Completar:

αx + y + z = 1

a. El sistema: x + αy + z = 1

x + y + αz = 1

Tiene unica soluci´n si α ∈ {
´
o

b. Si det(A) = 3 y AB = O, entonces B =
5


2cc
c. A =  c c c  es singular si c=
876


abc
4u 2a −p
d. Si p q r = 3,...