Taller eqs

Matem´tica IV - 2000953 a Taller, Ecuaciones de orden 1 1. Resuelva dy y3 = , dx 1 − 2xy 2

y(0) = 1.

R: y 2 x = ln y. 2. Determine la soluci´n general de la ecuaci´n o o (y − 4x)dx + (y − x)dy = 0. 3. Una persona tiene una fortuna que aumenta en una raz´n proporcional o a su cuadrado. Si hace un a˜o esa fortuna era de mil millones de pesos n y en la actualidad es de dos mil millones, cualser´ el valor de dicha a fortuna dentro de seis meses? Y dentro de dos a˜os? n R: 4 mil millones 4. Encuentre una ecuaci´n diferencial lineal homog´nea de coeficientes o e constantes cuyo orden sea el menor posible y que tenga a la funci´n o ex sin 2x + 3e−x como soluci´n. o 5. Considere la la ecuaci´n aut´noma o o y = y2 + y a) Halle sus soluciones de equilibrio. b) Clasif´ ıquelas. c) Haga unbosquejo de las diferentes tipos de curvas soluci´n que se o puedan presentar.
1 6. Use el factor integrante x2 +y2 para hallar la soluci´n general de la ecuao ci´n o (y + x5 + x3 y 2 )dx − xdy = 0.

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7. Suponga que un recinto contiene 1.200 pies c´bicos de aire y est´ libre u a de mon´xido de carbono. A partir del instante t = 0, se introduce al o recinto humo de cigarrillo, que contiene 4 %de mon´xido de carbono, o a raz´n de 0, 1 pies c´bicos por minuto y se permite que la mezcla bien o u circulada salga a la misma raz´n. o a) Halle una expresi´n x (t) que determine la cantidad de mon´xido o o de carbono en el tiempo t (t ≥ 0). R: x(t) = 48(1 − e(−1/12,000)t ) b) La exposici´n prolongada a una concetraci´n superior a 0.00012 o o es da˜ina para el organismo humano. Halle el instanteτ en que n se alcanza esta concentraci´n. o R: 36 minutos aproximadamente. Soluci´n: El modelo correspondiente es: o dx x = (0,1) (0,04) − (0,1) dt 1, 200 x = 0,004 − , 12, 000 separando variables e integrando tenemos: −12, 000 ln 0,004 − despejando x = x (t) tenemos: x (t) = 48 − 48e− 12,000 t , sea τ es tiempo necesario para obtener la concentraci´n deseada, eno tonces 1 x (τ ) = (0,00012) (1,200) = 48 − 48e− 12,000 τ , despejando τ tenemos que τ = −12, 000 ln 48 − 0,144 48 ≈ 36,05410824,
1

x 12, 000

= t + C,

que corresponde a 36 minutos aproximadamente. 2

8. Se bombea agua a un tanque cil´ ındrico recto de secci´n transversal o constante A a una raz´n constante k. El agua sale por un peque˜o o √ n orificio de ´rea a ubicado en el fondo del tanque a una raz´n de αa 2gh a odonde h es la profundidad del agua en el tanque, g es la aceleraci´n de o la gravedad y α es una constante (0, 5 ≤ α ≤ 1). a) Determine la raz´n de cambio de la profundidad h del agua. R: o √ dh/dt = (k − αa 2gh)/A b) Encuentre la profundidad de equilibrio he y diga si es o no es estable. R: k 2 /2α2 a2 g. 9. Una soluci´n que contiene 2 libras de sal por gal´n empieza fluir a un o o dep´sito quecontiene 50 galones de agua pura a raz´n de 3 gal/min. o o Despu´s de 3 minutos la mezcla comienza a salir a raz´n de 3 gal/min. e o a o e a) Cu´nta sal hay en el dep´sito despu´s de 2 minutos? b) Cu´nta despu´s de 25 minutos? a e c) Cu´nta sal tiende a haber en el dep´sito a medida que el tiempo a o transcurre indefinidamente? o 10. Una cierta familia de curvas constituye la soluci´n general de laecuaci´n o 2xy y =− 2 , x = 0, y = 0. x + y2 Halle las trayectorias ortogonales a dicha familia. o 11. Halle un factor integrante para la ecuaci´n inexacta (2x2 + y)dx + (x2 y − x)dy. 12. Resuelva la ecuaci´n del punto 3 usando el factor integrante encontrado. o 13. La ecuaci´n o y 2 − x2 + 1 2xy no es exacta. H´llele un factor integrante y uselo para resolverla. a ´ y = a) Halle una ecuaci´ndiferencial cuya soluci´n general sea la familia o o de c´ ırculos que pasan por los puntos (-1,0) y (1,0). 3

14.

b) Halle una ecuaci´n diferencial cuya soluci´n general sea la familia o o ortogonal a la familia de curvas del literal anterior. 15. Un dep´sito contiene 100 galones de salmuera en la que hay disueltas o 40 libras de sal. Se desea reducir la concentraci´n de sal hasta 0,1 o...