Taller Método De Newton

METODOS NUMERICOS
APLICACIÓN DE LA DERIVADA - METODO DE NEWTON RAPHSON

1. En la figura se muestra la grafica de una función ‌f. Suponga que se usa el método de Newton para obtener una aproximación de la raíz r de la ecuación f(x)=0, con aproximación inicial x1=1. Dibuje las rectas tangentes que se usan para hallar x2 y x3 y estime los valores numéricos de estos dos.

R//.

La rectatangente en x=1 se cruza el eje x en x≈2.3, por lo que x2≈2,3. La línea tangente en x=2,3 intercepta el eje x en x≈3, por lo que x3≈3.0.

2. Siga las instrucciones dadas para el ejercicio1, pero use x1=9 como la aproximación de arranque para hallar la raíz s.

R//.

La línea tangente en x=9 interseca el eje x en x≈6,0, por lo que x2≈6.0.
La línea tangente en x=6.0 intercepta el eje x enx≈8.0, por lo que x3≈8.0.

3. Suponga que la recta y=5x-4 es tangente a la curva y=f(x), cuando x=3. Con el método de Newton para localizar una raíz de la ecuación f(x)=0 y una aproximación inicial de x1=3, encuentre la segunda aproximación x2.

R//.
Desde x1=3, y=5x-4 es tangente a y=f(x) en x=3, simplemente tenemos que encontrar donde la recta tangente corta al eje x.
y=0 => 5x-4=0=>y=45

4. Para cada aproximación inicial, determine gráficamente que sucede si se aplica el método de Newton para la función cuya grafica se muestra.
a) x1=0 b) x1=1 c) x1=3
d) x1=4 e) x1=5

R//.
a) Si x1=0, entonces 2 es negativo, y x3 es aún más negativo. La secuencia de aproximaciones no converge, es decir, el método de Newton falla.

b) Si x1=1, luego la línea tangente eshorizontal y el método de Newton falla.

c) Si x3=3, Entonces x2=1 y tenemos la misma situación que en el punto b). El método de Newton vuelve a fallar.

d) Si x1=4, la recta tangente es horizontal y no el método de Newton falla.

5-6. Use el método de Newton con la aproximación inicial dada, x1 para hallar x3, la tercera aproximación para la raíz de la ecuación dada (De susrespuestas hasta las cuartas cifras decimales).

5. x3+x+1=0, x1=-1.
6. x7-100=0, x1=2

R//.
5. fx=x3+x+1
f'x=3x2+1
x1=-1
x2=-1--13-1+13(-1)2+1

x1 | -1 |
x2 | -0.7500 |
x3 | -0.6860 |
x4 | -0.6823 |
x5 | -0.6823 |

6. fx=x7-100
f'x=7x6

x1=2
x2=2-27-1007(2)6
x1 | 2 |
x2 | 1.9375 |
x3 | 1.9308 |
x4 | 1.9307 |
x5 | 1.9307 |

7-8.Utilice el método de Newton a fin de hallar una aproximación para el numero dado, correcta hasta las ocho cifras decimales.
7. 422
8. 10100

R//.
7. x=422 → x4=22 → x4-22=0
fx=x4-22
f'x=4x3
x1=1
x2=1-14-224(1)3
x1 | 1 |
x2 | 6.25000000 |
x3 | 4.71002800 |
x4 | 3.58515813 |
x5 | 2.80822281 |
x6 | 2.35451930 |
x7 | 2.18725202 |
x8 | 2.16605215 |
x9 | 2.16573684 |x10 | 2.16573677 |
x11 | 2.16573677 |

8. x=10100 → x10=100 → x10-100=0
fx=x10-100
f'x=10x9
x1=1
x2=1-110-10010(1)9

x1 | 1 | x2 | 10.90000000 |
x3 | 9.81000000 | x4 | 8.82900002 |
x5 | 7.94610005 | x6 | 7.15149012 |
x7 | 6.43634131 | x8 | 5.79270771 |
x9 | 5.21343830 | x10 | 4.69209798 |
x11 | 4.22289726 | x12 | 3.80063095 |
x13 | 3.42062829 | x14 | 3.07872143 |x15 | 2.77125170 | x16 | 2.49516386 |
x17 | 2.24831499 | x18 | 2.03029567 |
x19 | 1.84432560 | x20 | 1.70039366 |
x21 | 1.61450441 | x22 | 1.58722133 |
x23 | 1.58490850 | x24 | 1.58489319 |
x25 | 1.58489319 | | |

9-10. Use el método de Newton para hallar una aproximación de la raíz indicada, correcta hasta seis cifras decimales.
9. La raíz positiva de 2senx=x.
10. La raíz detanx=x en el intervalo (π/2,3π/2).

R//.
9. sen x=x2.
fx=senx-x2
f´(x)=cosx-2x
x1=1
x2=1-sen1-(1)2cos⁡(1)-2(1)
x1 | 1 |
x2 | 0.891396 |
x3 | 0.876985 |
x4 | 0.876726 |
x5 | 0.876726 |

La raíz positiva es 0.876726, con seis cifras decimales.

11-18. Con el método de newton halle todas las raíces de la ecuación, correctas hasta ocho cifras decimales....