Taller matrices

Páginas: 18 (4344 palabras) Publicado: 20 de agosto de 2010
1. Encuentre la inversa de las matrices dadas: A. -2 3 -1/2 x F1 3 -5 1 3 3/2 x F2 + F1 1 0 B. 1 0 1 0 1 1 1 1 0 Det (B) = Det (B) = 1(1)(0)+1(0)(1)+1(0)(1)-1(1)(1)-1(1)(1)-0(0)(0) 0+0+0-1-1-0 = -2
-3/2 -1/2

Det (A) =

-2(-5) - 3(3) = 10 - 9 = 1

-2 3

3 -5 1 0

1 0

0 1 0

0 1 -3

-3 x F1 + F2

1 0

-3/2 -1/2 -1/2 3/2

0 1

-2 x F2

-3/2 -1/2

-5 0 1

0 5

1-3 -2

A

-1

=

5

-3

-3 -2

-3 -2 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 -1 X F1 + F3 0 1 1 -1 X F3 + F1 0 0 6 6 7 1 1/2 X F1 2 2 1 -3 X F3 + F1 0 0

0 1 1 0 1 0

1

1

0 1 0

0 0 -1 X F2 + F3 1

1 0 0 1 0 1

0 1 0 0 1 1

1

1

0

0 -1/2 X F3

1 0 0

0 1 0

1 1 1

1 0
1/2

0 1

0 0

1 0 -1 -1 0 1 1

1 0 1 0 -2 -1 -1 -1 0 0 0
1/2 -1/2 1/2-1/2 1/2 1/2 1/2

1/2 -1/2

1/2 -1/2 1/2

1/2 -1/2 1/2

0
1/2

1

0 -1 X F3 + F2

B

-1

=

-1/2 1/2 1/2

1/2

1/2 -1/2

1/2 -1/2

1/2 -1/2

C.

2 2 2

6 7 7

2 Det (B) = Det (B) = 3 7 7 0 1 0 3 6 7 0 0 1
1/2

6 7 7

6 6 7 1

1 0 0 0 1 0

0 1 0 3 0 1

0 0 1
7/2

2(7)(7)+2(6)(6)+6(2)(7)-6(7)(2)-2(7)(6)-7(6)(2) 98+72+84-84-84-84 = 2 0 1 0 0 0 -2 X F1+ F2 1 -2 X F1 + F3 1 0 0 3 1 0 3 0 1
1/2

2 2

0 1 0

0 0 1 -3 X F2 + F1

-3 1 0

0 0 1

0 0
13/2

-1 -1
13/2

0 0

-1 -1

-3 -3 1 0 0 1 C
-1

-3 -3 1 0 0 1

-1 -1

=

-1 -1

Det (B) = D.
1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 -4/5

1/5(1/5)(1/10)+1/5(1/5)(1/10)+1/5(-2/5)(-4/5)1/5(1/5)(-2/5)-1/5(-4/5)(1/10)-1/5(1/5)(1/10)
1/5 1/5 1/5 1/5

1 0 0 5

0 1 0 0 0 1 0

0 0 1 01 0 -2 2 0

-2/5 1/10 1/10

Det (B) = Det (B) = 1 1 5 0 0 5 4 -1 1 0 1 0 0 0 1 0

(1/250)+(1/250)+(8/125)-(-2/125)-(-2/125)-(1/250)= 1/10 0 1 1 0
1/2

1/5 -4/5

-2/5 1/10 1/10

1 5 X F1
1/5

1

5

0 1 0 0 0 1 0

0 0 F2 ↔F3 1 -2 2 -1 X F3 0 -2 2 0

1 0 0 1 0 0

1
1/2

1
1/2

1/5 -4/5

-2/5 1/10 1/10

0 -1/5 XF1+F2 0 1 2/5 XF1 + F3 0 0 2 -1 X F2 + F1 0 -2 2 0 D 10 0

-1 -1 1/2 2 0 1

0 0 1 0

2 -1 -1 0 1 1 1

1 2 X F2 0 0 1 -1 X F3 + F2 0 0

1 1 0 0 1 0

1 1 -1 0 1 1

0 1 0

1 4 -1 -1 1

4 0 -1 -1

4 0 -1 -1

-1

=

4 0 -1 -1

2. Muestre con un ejemplo que si A es una matriz mxn entonces existe una matriz invertible C, tiene la forma escalonada por renglones reducida

tal que CA

A=

5 1

2 10 1 10 0 1 0
-1/48

52

1

0 F2 ↔F1 1 0 1
5/24 -1/48

1 10 0 5
-1/24 5/48

1 -5 X F1 + F2 0
5/24 -1/48 -1/24 5/48

1 10 0 0 -48 1

1 -5 CA = 1 0 0 1

1 10 0

2

1

-1/48 X F2

1 -10 X F2 + F1 1
5/48

C=

A=

5

2

0

1 10

3. A es una matriz invertible, verifique que el sistema homogéneo tiene como única solución la trivial 1 A= 2 1 2 5 0 3 3 8 1 0 0 0 1 0 9 -3 -6 X1 + 2X2 +3X3 = 0 0 0 0 1 0 9 -3 1 0 0 0 1 2 1 2 5 0 3 3 8 0 0 0 1 0 0 0 1 0 -2 X F1 + F2 -1 X F1 + F3 1 0 0 2 3 0 0 0

2X1 + 5X2 + 3X3 = X1 + 8X3 = 0 0 -1/6 X F3 0 1 0 0

1 -3 -2 0

-2 X F2 + F1 2 X F2 + F3

-2 X F2 + F1 2 X F2 + F3

0 0 1

0 0 0

X1 = 0, X2 = 0, X3 = 0, Por lo tanto su unica solución es cero

4. Sean a11 a12 a13 A= a21 a22 a23 a31 a32 a33

a11 a12 a13 B= a21 a22 a23 a31a32 a33 Demuestre que:

a11 a21 a31 a. (A ) = A
T T

a11 a12 a13 (A ) = a21 a22 a23 a31 a32 a33
T T T T por lo tanto (A ) = A

A

T

=

a12 a22 a32 a13 a23 a33

T T T b. (A + B) = A + B

a11 + b11 (A + B) = a21 + b21 a31 + b31

a12 + b12 a22 + b22 a32 + b32 b11 b21 b31

a13 + b13 a23 + b23 a33 + b33 (A + B) =
T

a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33

a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33

a11 a21 a31 A
T

a11 + b11 A +B =
T T

=

a12 a22 a32 a13 a23 a33

B

T

=

b12 b22 b32 b13 b23 b33
T T T

a12 + b12 a13 + b13

Por lo tanto (A + B) = A + B C. (AB) = B A
T T T

AB =

[a11 b11 + a12b21 + a13b31] [a11 b12 + a12b22 + a13b32] [a11 b13 + a12b23 + a13b33] [a21...
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