talwnto humano

1: En qué consiste el método estadístico de los mínimos cuadrados.
La aproximación por mínimos cuadrados se basa en la minimización del error cuadrático medio o, equivalentemente, en la minimización del radicando de dicho error, el llamado error cuadrático, definido como:


Para alcanzar este objetivo, se utiliza el hecho que la función f debe poderdescribirse como una combinación lineal de una base de funciones. Los coeficientes de la combinación lineal serán los parámetros que queremos determinar. Por ejemplo, supongamos que f es una función cuadrática, lo que quiere decir que es una combinación lineal, , de las funciones , y (m=3 en este caso), y que se pretende determinar los valores de los coeficientes: , de modo que minimicen lasuma (S) de los cuadrados de los residuos:

Esto explica el nombre de mínimos cuadrados. A las funciones que multiplican a los coeficientes buscados, que en este caso son: , y , se les conoce con el nombre de funciones base de la aproximación, y pueden ser funciones cualesquiera. Para ese caso general se deduce a continuación la fórmula de la mejor aproximación discreta (i.e. para un conjuntofinito de puntos), lineal y según el criterio del error cuadrático medio, que es la llamada aproximación lineal por mínimos cuadrados. Es posible generar otro tipo de aproximaciones, si se toman los errores máximo o medio, por ejemplo, pero la dificultad que entraña operar con ellos, debido al valor absoluto de su expresión, hace que sean difíciles de tratar y casi no se usen.
Solución delproblema de los mínimos cuadrados
La aproximación mínimo cuadrática consiste en minimizar el error cuadrático mencionado más arriba, y tiene solución general cuando se trata de un problema de aproximación lineal (lineal en sus coeficientes ) cualesquiera que sean las funciones base: antes mencionadas. Por lineal se entiende que la aproximación buscada se expresa como una combinación lineal de dichasfunciones base. Para hallar esta expresión se puede seguir un camino analítico, expuesto abajo, mediante el cálculo multivariable, consistente en optimizar los coeficientes ; o bien, alternativamente, seguir un camino geométrico con el uso de el álgebra lineal, como se explica más abajo, en la llamada deducción geométrica. Para los Modelos estáticos uniecuacionales, el método de mínimos cuadradosno ha sido superado, a pesar de diversos intentos para ello, desde principios del Siglo XIX. Se puede demostrar que, en su género, es el que proporciona la mejor aproximación.

Deducción analítica de la aproximación discreta mínimo cuadrática lineal
Sea un conjunto de n pares con abscisas distintas, y sea un conjunto de m funciones linealmente independientes (en un espacio vectorial defunciones), que se llamarán funciones base. Se desea encontrar una función de dicho espacio, o sea, combinación lineal de las funciones base, tomando por ello la forma:
.
Ello equivale por tanto a hallar los m coeficientes: . En concreto, se desea que tal función sea la mejor aproximación a los n pares empleando, como criterio de "mejor", el criterio del mínimo error cuadrático medio de lafunción con respecto a los puntos .
El error cuadrático medio será para tal caso:

Minimizar el error cuadrático medio es equivalente a minimizar el error cuadrático, definido como el radicando del error cuadrático medio, esto es:

Así, los que minimizan también minimizan , y podrán ser calculados derivando e igualando a cero este último:
Siendo i=1,2, . . .,m
Se obtiene un sistema de mecuaciones con m incógnitas, que recibe el nombre de "Ecuaciones Normales de Gauss". Operando con ellas:
, para i=1,2, . . .,m
, para i=1,2, . . .,m

Si se desarrolla la suma, se visualiza la ecuación "i-ésima" del sistema de m ecuaciones normales: , para cada i=1,2, . . .,m

Lo cual, en forma matricial, se expresa como:

Siendo el producto escalar discreto, definido para dos...