Tangentes

5.1RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO,CURVAS ORTOGONALES

Sea C una curva, y A un punto de esta. Se supone que A es un puntoregular de la curva, es decir que no es un punto anguloso: La curva no cambia repentinamente de dirección en A.
La tangente a C en A es la recta TA quepasa por A y que tiene la misma dirección que C alrededor de A.
La tangente es la posición límite de la recta (AM) (llamada cuerda de la curva), cuandoM es un punto de C que se aproxima indefinidamente al punto A (M se desplaza sucesivamente por M1, M2, M3, M4...)
Si C representa una función f (no esel caso en el gráfico precedente), entonces la recta (AM) tendrá como coeficiente director (o pendiente)
, donde a es la abscisa de A y x la de M.Por lo tanto, la pendiente de la tangente TA será:

Es, por definición, f '(a), la derivada de f en a.
La ecuación de la tangente es Ta: y = f'(a)·(x - a) + f(a)
La recta ortogonal a la tangente TA que pasa por el punto (a, f(a)) se denomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadasortonormales, es dada por .
Su ecuación es : y = - (x - a)/f '(a) + f(a) suponiendo claro está que f'(a) ≠ 0. Esta recta no interviene en el estudiogeneral de las funciones pero sí en problemas geométricos relacionados con las cónicas, como por ejemplo para determinar el punto focal de unaparábola.
5.2 teorema de rolle, teorema de langrage o teorema de valor medio del calculo diferencial
Teorema de rolle
El teorema de Rolle dice lo siguiente: