Tanque neumatico
Universidad de Buenos Aires Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Mecánica
67.12 - MECANISMOS “B”
MECANISMO BIELA MANIVELA
(TEÓRICO)
Prof. Ing. MAYER, Omar E. omayer@fi.uba.ar
Marzo 2 006
Página 2 de 31
NÚMERO e^iθ
En el número e^(i*θ) y a escribir e^iθ, e resulta la base de los logaritmos naturales, conocido también como el número e(2.718281828....), i el número imaginario (i^2 = -- 1) y θ una variable angular, la misma en radianes. Siendo válido
e^iθ = cos(θ) + i * sen(θ) = cos(θ) + isen(θ)
dicho número puede ser representado por un vector ‘posición’ de módulo unitario 1 (ver Figura 01 siguiente) en un par de ejes coordenados, uno que represente números reales (cos(θ)) y a llevar en abscisas y el otro, números imaginarios(isen(θ)) a llevar en ordenadas.
VELOCIDAD V DEL EXTREMO E DEL VECTOR POSICIÓN 1
V=ω
Figura 01
θ π/2
E
sen(θ)
Componente imaginaria i
Si
el
vector
posición
1 rota con
ω * cos(θ)
velocidad angular instantánea (Figura 01 lateral) dada por:
ω
− ω * sen(θ) ω
1
ω = ω0 + j * t, ω0 =
j t
donde:
Velocidad angular inicial
= Aceleración angular (constante) =Variable tiempo
θ
O
cos(θ) Componente real
derivando e^(i*θ) resulta el vector velocidad V del extremo E del vector posición 1, tal como sigue:
δ(e^iθ)
δ (iθ)
δθ
V = --------- = (e^iθ) * ------- = i * (e^iθ) * ---δt δt δt
δθ
resultando
--- = ω δt
se tiene: V =
ω * i * e^iθ
V = ω * i * (cos(θ) + isen(θ))
sí
i * cos(θ) = icos(θ)
V = ω * (icos(θ) + i^2 *sen(θ)) V = ω * (icos(θ) -- sen(θ))
Página 3 de 31 siendo
cos(θ) = + sen(θ + Nºpi/2) sen(θ) = -- cos(θ + Nºpi/2)
y sí
i * sen(θ + Nºpi/2) = isen(θ + Nºpi/2)
V = ω * (cos(θ + Nºpi/2) + isen(θ + Nºpi/2))
Siendo
cos(θ + Nºpi/2) + isen(θ + Nºpi/2) = e^i(θ + Nºpi/2) V = ω * e^i(θ + Nºpi/2)
Luego, el vector velocidad V del extremo E del vector posición 1, resulta normal al vectorposición (ver Figura 01 anterior) y por ser este ultimo de modulo unitario, el vector velocidad V resulta con módulo igual a la velocidad angular del vector posición
ω
ACELERACIÓN A DEL EXTREMO E DEL VECTOR POSICIÓN 1
At = j
Componente imaginaria i cos(θ)
Figura 02
θ+π/2
- j * sen(θ)
E
An = ω^2
ω^2 * sen(θ)
Derivando la velocidad V del extremo E del vector posición 1resulta la aceleración A del mismo extremo, luego
j*
δV
δ (ω * e^i(θ + Nºpi/2))
θ
O
A = --- = -----------------------------δt δt
- ω^2 * cos(θ)
Componente real
δω
δ (e^i(θ + Nºpi/2))
A = e^i(θ + Nºpi/2) * ---- + ω * ----------------------δt δt
δω
sí
---δt
=
j
aceleración angular
Página 4 de 31
δ i(θ + Nºpi/2)
A = j * e^i(θ + Nºpi/2) + ω * e^i(θ +Nºpi/2) * -----------------δt
δ i(θ + Nºpi/2)
siendo
------------------ = i * ω δt
A = j * e^i(θ + Nºpi/2) + ω^2 * i * e^i(θ + Nºpi/2)
siendo
⎧ + cos(θ + Nºpi/2) i * e^i(θ + Nºpi/2) = i * ⎨ ⎩ + i * sen(θ + Nºpi/2)
⎧ + i * cos(θ + Nºpi/2) i * e^i(θ + Nºpi/2) = ⎨ ⎩ + i^2 * sen(θ + Nºpi/2)
como
sen(θ + Nºpi/2) = cos(θ + Nºpi/2) =
cos(θ) -- sen(θ)
i * e^i(θ + Nºpi/2) = -- i *sen(θ) -- cos (θ) i * e^i(θ + Nºpi/2) = -- ( cos (θ) + i * sen(θ) ) como
e^iθ = cos(θ) + i * sen(θ) = cos(θ) + isen(θ)
i * e^i(θ + Nºpi/2) = -- e^iθ
A = j * e^i(θ + Nºpi/2) -- ω^2 * e^iθ sí At = j * e^i(θ + Nºpi/2) An = -- ω^2 * e^iθ
Aceleración tangencial Aceleración normal (centrípeta)
→
resulta
→
= At +
→
An
A
→ → →
→ →
→ →
módulo A = ((módulo At )^2 + (móduloAn )^2)^(1/2) módulo A = ((módulo At )^2 + (módulo An )^2)^(1/2) módulo A = (j^2 + (ω^2)^2)^(1/2)
Página 5 de 31
→
módulo A = (j^2 + Conforme lo expuesto, resulta que:
•
ω^4)^(1/2)
La dirección del vector aceleración tangencial At del extremo E del vector posición 1 resulta a 90º de la dirección de dicho vector posición y con el mismo sentido que el vector velocidad V si la...
Regístrate para leer el documento completo.