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Universidad de Buenos Aires Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Mecánica

67.12 - MECANISMOS “B”

MECANISMO BIELA MANIVELA

(TEÓRICO)

Prof. Ing. MAYER, Omar E. omayer@fi.uba.ar

Marzo 2 006

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NÚMERO e^iθ
En el número e^(i*θ) y a escribir e^iθ, e resulta la base de los logaritmos naturales, conocido también como el número e(2.718281828....), i el número imaginario (i^2 = -- 1) y θ una variable angular, la misma en radianes. Siendo válido

e^iθ = cos(θ) + i * sen(θ) = cos(θ) + isen(θ)

dicho número puede ser representado por un vector ‘posición’ de módulo unitario 1 (ver Figura 01 siguiente) en un par de ejes coordenados, uno que represente números reales (cos(θ)) y a llevar en abscisas y el otro, números imaginarios(isen(θ)) a llevar en ordenadas.

VELOCIDAD V DEL EXTREMO E DEL VECTOR POSICIÓN 1
V=ω

Figura 01
θ π/2
E
sen(θ)

Componente imaginaria i

Si

el

vector

posición

1 rota con

ω * cos(θ)

velocidad angular instantánea (Figura 01 lateral) dada por:

ω

− ω * sen(θ) ω
1

ω = ω0 + j * t, ω0 =
j t

donde:

Velocidad angular inicial

= Aceleración angular (constante) =Variable tiempo

θ
O
cos(θ) Componente real

derivando e^(i*θ) resulta el vector velocidad V del extremo E del vector posición 1, tal como sigue:

δ(e^iθ)

δ (iθ)

δθ

V = --------- = (e^iθ) * ------- = i * (e^iθ) * ---δt δt δt

δθ
resultando

--- = ω δt

se tiene: V =

ω * i * e^iθ

V = ω * i * (cos(θ) + isen(θ))


i * cos(θ) = icos(θ)

V = ω * (icos(θ) + i^2 *sen(θ)) V = ω * (icos(θ) -- sen(θ))

Página 3 de 31 siendo

cos(θ) = + sen(θ + Nºpi/2) sen(θ) = -- cos(θ + Nºpi/2)

y sí

i * sen(θ + Nºpi/2) = isen(θ + Nºpi/2)

V = ω * (cos(θ + Nºpi/2) + isen(θ + Nºpi/2))
Siendo

cos(θ + Nºpi/2) + isen(θ + Nºpi/2) = e^i(θ + Nºpi/2) V = ω * e^i(θ + Nºpi/2)

Luego, el vector velocidad V del extremo E del vector posición 1, resulta normal al vectorposición (ver Figura 01 anterior) y por ser este ultimo de modulo unitario, el vector velocidad V resulta con módulo igual a la velocidad angular del vector posición

ω

ACELERACIÓN A DEL EXTREMO E DEL VECTOR POSICIÓN 1
At = j
Componente imaginaria i cos(θ)

Figura 02
θ+π/2

- j * sen(θ)

E

An = ω^2

ω^2 * sen(θ)

Derivando la velocidad V del extremo E del vector posición 1resulta la aceleración A del mismo extremo, luego

j*

δV

δ (ω * e^i(θ + Nºpi/2))

θ
O

A = --- = -----------------------------δt δt

- ω^2 * cos(θ)

Componente real

δω

δ (e^i(θ + Nºpi/2))

A = e^i(θ + Nºpi/2) * ---- + ω * ----------------------δt δt

δω


---δt

=

j

aceleración angular

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δ i(θ + Nºpi/2)
A = j * e^i(θ + Nºpi/2) + ω * e^i(θ +Nºpi/2) * -----------------δt

δ i(θ + Nºpi/2)
siendo

------------------ = i * ω δt

A = j * e^i(θ + Nºpi/2) + ω^2 * i * e^i(θ + Nºpi/2)
siendo

⎧ + cos(θ + Nºpi/2) i * e^i(θ + Nºpi/2) = i * ⎨ ⎩ + i * sen(θ + Nºpi/2)

⎧ + i * cos(θ + Nºpi/2) i * e^i(θ + Nºpi/2) = ⎨ ⎩ + i^2 * sen(θ + Nºpi/2)
como

sen(θ + Nºpi/2) = cos(θ + Nºpi/2) =

cos(θ) -- sen(θ)

i * e^i(θ + Nºpi/2) = -- i *sen(θ) -- cos (θ) i * e^i(θ + Nºpi/2) = -- ( cos (θ) + i * sen(θ) ) como

e^iθ = cos(θ) + i * sen(θ) = cos(θ) + isen(θ)
i * e^i(θ + Nºpi/2) = -- e^iθ

A = j * e^i(θ + Nºpi/2) -- ω^2 * e^iθ sí At = j * e^i(θ + Nºpi/2) An = -- ω^2 * e^iθ
Aceleración tangencial Aceleración normal (centrípeta)


resulta


= At +


An

A

→ → →

→ →

→ →

módulo A = ((módulo At )^2 + (móduloAn )^2)^(1/2) módulo A = ((módulo At )^2 + (módulo An )^2)^(1/2) módulo A = (j^2 + (ω^2)^2)^(1/2)

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módulo A = (j^2 + Conforme lo expuesto, resulta que:


ω^4)^(1/2)

La dirección del vector aceleración tangencial At del extremo E del vector posición 1 resulta a 90º de la dirección de dicho vector posición y con el mismo sentido que el vector velocidad V si la...
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