Tarea Ib: Paralelas y Paralelogramos

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Figura 1

Como se puede apreciar en la figura 1, si se agrega una línea transversal se forman 6 paralelogramos, los cuales son A1, A2, A3, A1A2, A2A3 y (A1A2) A3.
Figura 2
A1
A2
A3
A4
A1
A2
A3

En la figura 2, cuando el número de líneas transversales n es 5, hay 10 paralelogramos p. Estos paralelogramos son A1, A2, A3, A4, A1A2, A2A3, A3A4, (A1A2) A3, (A2A3) A4 y (A1A2)(A3A4).
Figura 3
A1
A2
A3
A4
A5



En la figura 3 cuando el número de líneas transversales n es 6, hay 15 paralelogramos p. Estos paralelogramos son A1, A2, A3, A4, A5, A1A2, A2A3, A3A4, A4A5, (A1A2) A3, (A2A3) A4, (A3A4) A5, (A1A2) (A3A4), (A2A3) (A4A5), y [(A1A2) (A3A4)] A5.

A1
A2
A3
A4
A5
A6
Figura 4








En la figura 4, cuando el número de líneastransversales n es 7, hay 21 paralelogramos p. Estos paralelogramos son A1, A2, A3, A4, A5, A6, A1A2, A2A3, A3A4, A4A5, A5A6, (A1A2) A3, (A2A3) A4, (A3A4) A5, (A4A5) A6, (A1A2) (A3A4), (A2A3) (A4A5), (A3A4) (A5A6), [(A1A2) (A3A4)] A5, [(A2A3) (A4A5) A6] y [(A1A2) (A3A4) (A5A6)].

Tabla 1

La siguiente tabla muestra los el número de paralelogramos por cada número de líneas transversalesagregadas.

Número de líneas transversales (n) | Número de paralelogramos (p) |
2 | 1 |
3 | 3 |
4 | 6 |
5 | 10 |
6 | 15 |
7 | 21 |

Para hallar la relación entre el número de líneas transversales y el número de paralelogramos usé el programa Microsoft Excel con la aplicación de una macro. Ésta consiste en lo siguiente:
Rect = 0
n = 5
For i = 1 To n - 1Rect = Rect + n - i
Next
Range("b2").Select
ActiveCell.FormulaR1C1 = Res
End Sub

Donde Rect significa resultado del número de paralelogramos. n significa el número de líneas transversales a trazar. i es el número de unidades de un paralelogramo donde una unidad es el paralelogramo de tamaño mínimo. En esta macro la medida de los paralelogramos a contar va de 1 unidadhasta n – 1 unidades. El número de paralelogramos de i unidades es n – i. Se hace el recorrido desde i = 1 hasta i = n – 1 y para cada valor de i se acumula el número de paralelogramos correspondientes en la variable Rect.

La relación entre el número de rectas transversales y el número de paralelogramos no responde a una progresión aritmética o a una progresión geométrica ya que no tiene unadiferencia constante ni una razón constante. Por lo tanto ésta sucesión debe ser polinómica.
El grado del polinomio lo determina el número de pasos necesarios para encontrar las diferencias. Para este caso las diferencias serían

En este caso, el número de pasos a seguir para encontrar las diferencias son 2, lo cual nos indica que la función es de segundo grado.
0
1
2
1 1
1
3
31
1
1
6
5
4
6
10
15
21
Desarrollo de la función cuadrática

f(x) = ax2 + bx + c

a(1)2 + b(1) + c = 0 –
a(2)2 + b(2) + c = 1 4a + 2b + c = 1
a(3)2 + b(3) + c = 3 -a – b – c = 0
3a + b = 1
–
9a + 3b + c = 3
-4a – 2b – c = -1
5a + b = 2

– 3(0.5) + b = 1
5a + b =2 1.5 + b = 1
-3a – b = -1 b = 1 – 1.5
2a = 1 b = -0.5
a = ½ ó 0.5

a + b + c = 1
0.5 – 0.5 + c = 0
c = 0

Función cuadrática (manual) = 0.5x2 – 0.5x
Función cuadrática (con calculadora): a = 0.5, b = -0.5 y c = 0

f(6) = 0.5(6)2 – 0.5(6)
f(6) = 0.5(36) – 3
f(6) = 18 – 3
f(6) = 15
.

Con tres líneas horizontales

n = 1 p = 0

n = 2 p = 3n = 4 p = 16
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A1
A2



A6
A7
A8
A1
A2
A3
A4
A5
A1
A2
A3
A4
n = 3 p = 9 n = 5 p = 30

A5
A3
A1

A4
A2


n = 6 p = 45
A10
A9
A5
A4
A3
A2
A1
A8
A7
A6

n = 7 p= 63
A1
A12
A11
A10
A9
A5
A4
A3
A2
A8
A7
A6

Éste es un caso de sucesión donde no es una...