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Cálculo de variaciones
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El cálculo de variaciones es un problema matemático consistente en buscar máximos y mínimos (o más generalmente extremos relativos) defuncionales continuos definidos sobre algún espacio funcional. Constituyen una generalización del cálculo elemental de máximos y mínimos de funciones reales de una variable.
Formulación general[editar]Uno de los problemas típicos en cálculo diferencial es el de encontrar el valor de x para el cual la función f(x) alcanza un valor extremo (máximo o mínimo). En el cálculo de variaciones el problema esencontrar una función f(x) para la cual un funcional I[f] alcance un valor extremo. El funcional I[f] está compuesto por una integral que depende de x, de la función f(x) y algunas de sus derivadas.Donde la función f(x) pertenece a algún espacio de funciones (espacio de Banach, espacio de Hilbert), y tanto ella como sus derivadas pueden tener restricciones.
Esta fórmula integral puede ser máscomplicada permitiendo a x ser un vector, y por lo tanto incluyendo derivadas parciales para f.
Problemas históricos [editar] Problema Isoperimétrico [editar]¿Cuál es el área máxima que puederodearse con una curva de longitud dada?.
Ejemplo: Sean dos puntos A = (a,0),B = (b,0) en el eje x donde la distancia entre ellos está dada. Es decir AB = l. El problema de hallar una curva que maximize elárea entre ella y el eje x sería:
Hallar una función f(x) de modo que,
Max
con las restricciones
(longitud de arco)
f(a) = f(b) = 0
Braquistócrona [editar]El problema de la curva braquistócrona seremonta a J. Bernoulli (1696). Se refiere a encontrar una curva en el plano cartesiano que vaya del punto P = (x0,y0) al origen de modo que un punto material que se desliza sin fricción sobre ellatarda el menor tiempo posible en ir de P al origen. Usando principios de mecánica clásica el problema puede formularse como,
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donde g es la gravedad y las restricciones son, f(0) = 0, f(x0) = y0....
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