Tarea
Conceptos básicos
La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las diversas relaciones que se pueden establecer entre los lados y los ángulos de un triangulo.
TEOREMA DE PITÁGORAS
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
K = hipotenusa
S
W
k2=s2+w2Catetos
Funciones o razones trigonométricas
Las razones trigonométricas son relaciones que se establecen entre dos lados y un ángulo en un triángulo rectángulo.
Las razones trigonométricas son seis, a saber:
* Seno (senθ): Es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
* Coseno (cosθ): Es el cociente entre le cateto adyacente y la hipotenusa.* Tangente (tanθ) (tgθ): Es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
* Cotangente (cotθ) (ctgθ): Es el cociente entre el cateto adyacente y el cateto opuesto.
* Secante (secθ): Es el cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto.
* Cosecante (cscθ): Es el cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto.
Existe una regla nemotécnica para aprender sinesfuerzo la definición de las razones trigonométricas. Es fundamental el orden de ellas.
senθ=Cohipo
Donde:
Co: Cateto Opuesto
Ca: Cateto Adyacente
Hipo: Hipotenusa
cosθ=Cahipo
tanθ=CoCa
Co
cotθ=CaCo
Ca
secθ=hipoCa
θ
cscθ=hipoCo
Hipo
Primero se escribe la secuencia en los numeradores, hacia abajo, y luego en los denominadores haciaarriba.
Ejemplos
Hallar todas las razones trigonométricas del ángulo dado. Primero encuentre el valor del lado que falta, simplifique y racionalice cuando sea necesario.
1. ∅
x= ?
a+3b
a=5b
En primer lugar se debe aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar el valor del cateto que falta.
a+3b2=a-5b2+x2
Intercambiando los dos miembros de las ecuaciones y aplicandoproductos notables, se tiene:
a2-10ab+25b2+x2=a2+6ab+9b2
Transponiendo términos:
x2=6ab+9b2+10ab-25b2
x2=16ab-16b2
Luego:
x=16ab-b2 :factor común
x=4ab-b2 :Raíz del prodcuto.
Aplicando la definición y reemplazando, se tiene:
sen∅=a-5ba+3b
cos∅=4ab-b2a+3b
tan∅=a-5b4ab-b2ab-b2ab-b2=a-5bab-b24ab-b2
cot∅=4ab-b2a-5b
sec∅=a+3b4ab-b2ab-b2ab-b2=a+3bab-b24ab-b2csc∅=a+3ba-5b
2.
3m-7p
221mp
x= ?
Aplicando Pitágoras:
x2=3m-7p2+221mp2
Aplicando productos notables y propiedades de la potenciación y la radicación:
x2=9m2-42mp+49p2+421mp
x2=9m2-42mp+49p2+84mp
Simplificando y factorando:
x2=9m2+42mp+49p2=3m+7p2
∴x=3m+7p
Por lo tanto:
sen∝=221mp3m+7pcos∝=3m-7p3m+7p
tan∝=221mp3m-7p
cot∝=3m-7p221mp21mp21mp=3m-7p21mp42mp
sec∝=3m+7p3m-7p
csc∝=3m+7p221mp21mp21mp=3m+7p21mp42mp
MÓDULO Nº1
Encuentre el valor del lado “x” y luego todas las razones trigonométricas del ángulo dado. Simplifique y racionalice, cuando sea necesario.
1. 4a+6b
10a+8b
x= ?
θ
3. 8k-6p
ϕ
4k+6px= ?
5.
20k+2h
10k-8h
ω
x= ?
6m-10n
2. β
x= ?
6m+10n
4. λ
x= ?
4ab15
5a2-12b2
De la definición de las razones trigonométricas, se pueden deducir las siguientes 3 identidades denominadas inversas; éstas son:
1. cscϕ=1senϕ
2. secϕ=1cosϕ
3. cotϕ=1tanϕ
Cofunci0nes
Se denominan cofunciones a aquellos ángulos complementarios cuyasrazones trigonométricas son iguales.
Analicemos el siguiente ejemplo:
θ
m
s
p
λ
senλ=mp
cosλ=sp
tanλ=ms
cotλ=sm
secλ=ps
cscλ=pm
senθ=sp
cosθ=mp
tanθ=sm
cotθ=ms
secθ=pm
cscθ=ps
Se sabe que:
λ+θ+90°=180° (Suma de los ángulos interiores del triángulo)
Por lo tanto:
λ+θ=90°-θ
Luego:
λ=90°-θ...
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