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Trigonometría

Conceptos básicos

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las diversas relaciones que se pueden establecer entre los lados y los ángulos de un triangulo.

TEOREMA DE PITÁGORAS

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

K = hipotenusa

S
W
k2=s2+w2Catetos

Funciones o razones trigonométricas

Las razones trigonométricas son relaciones que se establecen entre dos lados y un ángulo en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas son seis, a saber:

* Seno (senθ): Es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

* Coseno (cosθ): Es el cociente entre le cateto adyacente y la hipotenusa.* Tangente (tanθ) (tgθ): Es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

* Cotangente (cotθ) (ctgθ): Es el cociente entre el cateto adyacente y el cateto opuesto.

* Secante (secθ): Es el cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

* Cosecante (cscθ): Es el cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

Existe una regla nemotécnica para aprender sinesfuerzo la definición de las razones trigonométricas. Es fundamental el orden de ellas.

senθ=Cohipo
Donde:
Co: Cateto Opuesto
Ca: Cateto Adyacente
Hipo: Hipotenusa

cosθ=Cahipo

tanθ=CoCa

Co
cotθ=CaCo
Ca

secθ=hipoCa
θ

cscθ=hipoCo
Hipo

Primero se escribe la secuencia en los numeradores, hacia abajo, y luego en los denominadores haciaarriba.

Ejemplos

Hallar todas las razones trigonométricas del ángulo dado. Primero encuentre el valor del lado que falta, simplifique y racionalice cuando sea necesario.

1. ∅
x= ?
a+3b
a=5b

En primer lugar se debe aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar el valor del cateto que falta.

a+3b2=a-5b2+x2

Intercambiando los dos miembros de las ecuaciones y aplicandoproductos notables, se tiene:

a2-10ab+25b2+x2=a2+6ab+9b2

Transponiendo términos:

x2=6ab+9b2+10ab-25b2

x2=16ab-16b2

Luego:

x=16ab-b2 :factor común

x=4ab-b2 :Raíz del prodcuto.

Aplicando la definición y reemplazando, se tiene:

sen∅=a-5ba+3b

cos∅=4ab-b2a+3b

tan∅=a-5b4ab-b2ab-b2ab-b2=a-5bab-b24ab-b2

cot∅=4ab-b2a-5b

sec∅=a+3b4ab-b2ab-b2ab-b2=a+3bab-b24ab-b2csc∅=a+3ba-5b

2.

3m-7p
221mp

x= ?

Aplicando Pitágoras:

x2=3m-7p2+221mp2
Aplicando productos notables y propiedades de la potenciación y la radicación:

x2=9m2-42mp+49p2+421mp

x2=9m2-42mp+49p2+84mp

Simplificando y factorando:

x2=9m2+42mp+49p2=3m+7p2

∴x=3m+7p

Por lo tanto:

sen∝=221mp3m+7pcos∝=3m-7p3m+7p

tan∝=221mp3m-7p

cot∝=3m-7p221mp21mp21mp=3m-7p21mp42mp

sec∝=3m+7p3m-7p

csc∝=3m+7p221mp21mp21mp=3m+7p21mp42mp

MÓDULO Nº1

Encuentre el valor del lado “x” y luego todas las razones trigonométricas del ángulo dado. Simplifique y racionalice, cuando sea necesario.

1. 4a+6b


10a+8b


x= ?

θ




3. 8k-6p

ϕ

4k+6px= ?

5.
20k+2h

10k-8h

ω

x= ?

6m-10n

2. β
x= ?
6m+10n


4. λ
x= ?
4ab15

5a2-12b2

De la definición de las razones trigonométricas, se pueden deducir las siguientes 3 identidades denominadas inversas; éstas son:

1. cscϕ=1senϕ

2. secϕ=1cosϕ

3. cotϕ=1tanϕ

Cofunci0nes

Se denominan cofunciones a aquellos ángulos complementarios cuyasrazones trigonométricas son iguales.


Analicemos el siguiente ejemplo:

θ
m
s
p

λ

senλ=mp

cosλ=sp

tanλ=ms

cotλ=sm

secλ=ps

cscλ=pm

senθ=sp

cosθ=mp

tanθ=sm

cotθ=ms

secθ=pm

cscθ=ps

Se sabe que:

λ+θ+90°=180° (Suma de los ángulos interiores del triángulo)

Por lo tanto:

λ+θ=90°-θ

Luego:

λ=90°-θ...
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