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Noción Intuitiva de límite

Ahora que hemos hecho una revisión de las funciones, llegamos a una idea central del cálculo, el concepto de límite.

Empecemos con una función f(x) = x2. Sabemos quef(2) = 4. pero seamos un poco ingeniosos y cremos un "hueco" en x = 2. Podemos hacer esto variando la función sutilmente, así
f(x) = \frac{x^2(x-2)}{x-2}.

Esta última función es igual a x2 entodas partes excepto por x=2 donde no existe. Ahora, un hecho curioso es que cuando x se acerca más a 2, entonces f(x) se acerca más a 4. Esto es un hecho útil y podemos expresarlo en símbolos como\qquad\lim_{x\to 2} f(x) = 4.

Note que no importa qué es f(x) en x=2, en este caso la hemos dejado indefinida, pero podría ser 2 o 15 o 10000000. Esto no importa, la idea de límite es que usted puedehablar acerca de cómo se comporta una función cuando se hace más y más cercana a un valor, sin hablar de cómo se comporta en ese valor. Ahora usando variables podemos decir que L es el límite de unafunción f(x) cuando a x se aproxima a c si f(x) ≈ L cuando x ≈ c.

Decimos que el límite, cuando x se aproxima a c, de f(x) es L, si L existe como un número finito. Y lo expresamos algebráicamente comosigue

\lim_{x\to c} f(x) = L.

Intuitivamente, el límite L es simplemente el número al que f(c) se hace más y más cercana cuando x se aproxima a c, pero f(c) no necesita estar definido.Ahora esta idea de hablar acerca de una función cuando ella se aproxima a algo fue un descubrimiento mayor, porque nos permite hablar de cosas que antes no hubiéramos podido. Por ejemplo, consideremosuna función 1/x. Cuando x se hace muy grande, 1/x se hace muy pqueña. 1/x se hace más y más cercano a cero, entre más grande se haga x. Sin los límites es muy difícil hablar de este hecho, porque 1/xnunca se hace cero. Pero el lenguaje de los límites existe precisamente para permitirnos hablar de acerca del comportamiento de una función cuando esta se aproxima a algo, sin preocuparnos acerca de...
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