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Las f´rmulas de Cardano-Ferrari o
Carlos Ivorra
(http://www.uv.es/ivorra)

Los m´todos de resoluci´n por radicales de las ecuaciones polin´micas de tercer y e o o cuarto grado son unas de esas antiguallas absolutamente in´tiles que est´ feo que un u a matem´tico no conozca. Como es bien sabido, si K es un cuerpo de caracter´ a ıstica distinta de 2 y a, b, c ∈ K, con a 6= 0, las soluciones dela ecuaci´n cuadr´tica o a ax2 + bx + c = 0 en una clausura algebraica de K vienen dadas por √ −b ± b2 − 4ac x= , 2a entendiendo que la ecuaci´n tiene una unica ra´ doble x = −b/2a cuando se anula el o ´ ız discriminante D = b2 − 4ac. Tambi´n es conocido que Tartaglia y Cardano encontraron una f´rmula an´loga para e o a ecuaciones c´bicas (en la que aparecen ra´ c´bicas adem´s de ra´ cuadradas)y que u ıces u a ıces Ferrari encontr´ otra m´s compleja para ecuaciones cu´rticas. En realidad, m´s que o a a a f´rmulas, encontraron m´todos de resoluci´n que pueden resumirse en sendas f´rmulas, o e o o si bien, en el caso de las ecuaciones cu´rticas, la f´rmula es tan compleja que resulta a o inmanejable, y es preferible describir el proceso de resoluci´n como un algoritmo de varios o pasos.Por ultimo, Abel demostr´ que, para n > 4, no existen f´rmulas an´logas que ´ o o a expresen las ra´ de la ecuaci´n general de grado n en funci´n de sus coeficientes a trav´s ıces o o e de sumas, productos, cocientes y extracci´n de ra´ o ıces, lo que convierte a las f´rmulas de o Cardano-Ferrari en dos singularidades algebraicas. Los resultados de Cardano-Ferrari llevaron al descubrimiento y alestudio de los n´meros complejos. En principio, los algebristas trataban de resolver ecuaciones con u coeficientes reales (normalmente racionales), pero tales ecuaciones pueden tener soluciones imaginarias. Ciertamente, para encontrar ejemplos sencillos de esta situaci´n no o es necesario buscar entre ecuaciones c´bicas o cu´rticas, sino que modestas ecuaciones u a cuadr´ticas sirven igualmente.Ahora bien, las ecuaciones cuadr´ticas con discriminante a a negativo no “induc´ ıan” a buscarles ra´ imaginarias, ya que lo m´s natural era concluir ıces a que no tienen soluci´n, y eso zanjaba el problema. En cambio, cuando una ecuaci´n c´bica o o u tiene tres ra´ reales distintas —que pueden ser conocidas si uno “se la construye” para ıces verificar la f´rmula de Cardano— resulta que ´staproporciona expresiones para dichas o e 1

ra´ ıces en la que aparecen ra´ ıces cuadradas de n´meros negativos. Fue esto lo que inu dujo a los matem´ticos a plantearse que tal vez fuera posible operar coherentemente con a cantidades “imaginarias” de manera que, simplificando las expresiones imaginarias que proporciona la f´rmula de Cardano, se pudiera llegar finalmente a las soluciones reales de o laecuaci´n. o Antes de entrar en materia puede ser ilustrativo recordar la forma en que puede deducirse la f´rmula para las ecuaciones cuadr´ticas. En primer lugar, podemos expresar la o a ecuaci´n en la forma o b c x2 + x + = 0. a a Esto hace que no perdamos generalidad si suponemos a = 1, simplificaci´n que ser´ o a util en el caso c´bico y cu´rtico, pero que, dada la sencillez del caso cuadr´tico,no vamos ´ u a a a hacer aqu´ Tenemos entonces que −b/a es la suma de las dos ra´ ı. ıces de la ecuaci´n, o luego −b/2a es la media de las ra´ ıces. Si hacemos el cambio de variable x = t − b/2a, obtendremos una ecuaci´n en t cuyas ra´ ser´n las que resultan de restarle a cada una o ıces a de las dos ra´ ıces de la ecuaci´n original la media de ambas, y esto hace que la nueva o ecuaci´n tengara´ con media (luego tambi´n con suma) igual a 0. Equivalentemente, o ıces e la nueva ecuaci´n debe tener nulo el monomio de primer grado. Comprobamos que as´ es: o ı b b c b2 − 4ac + t− + = t2 − = 0. a 2a a 4a2 √ Por lo tanto, las soluciones de esta ecuaci´n son t = ± b2 − 4ac/2a. Deshaciendo el o cambio de variables obtenemos la f´rmula buscada. o b t− 2a
√ !2 √ !

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Ecuaciones c´ bicas u...
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