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Publicado: 5 de marzo de 2011
Ángulos complementarios
Los ángulos α y β son complementarios.
Los ángulos complementarios son aquellos cuya suma de medidas es 90º (grados sexagesimales). Si dos ángulos complementarios son adyacentes, los lados no comunes de los dos forman un ángulo recto.
Así, para obtener el ángulo complementario de α que tiene una amplitud de 70°, se restará α de 90°:
β = 90° – 70º = 20º
el ángulo β(beta) es el complementario de α (alfa).
Sabiendo esto, dichos ángulos formarán siempre un triángulo rectángulo puesto que los ángulos en un triángulo rectángulo son uno de 90º y los otros dos deben sumar 90 (180º(grados totales de un triángulo)-90º=90º). Por tanto, el seno de alpha es igual al coseno de beta y el seno de beta igual al coseno de alpha puesto que pertenecen al mismo triángulorectángulo.
La diagonal de un rectángulo también configura ángulos complementarios con los lados adyacentes.
Ángulos suplementarios
1.2 Rectas cortadas por una secante
Posted on 23:29 | By Timur | In 1.2 Rectas cortadas por una secante
Consideremos un sistema de dos rectas cortadas por una secante o transversal. En este caso tenemos, para cada intersección, un sistema de dos rectas que secortan entre si, obteniendo de esta manera varios ángulos opuestos por el vértice y adyacentes, correspondientes a cada intersección. Pero también podemos clasificar los ángulos de acuerdo a la posición que ocupan con respecto a los sistemas adyacentes.
Teorema 1.2.1 (Teorema directo) En todo sistema de dos rectas paralelas cortadas por una secante, se tiene que
1. Los ángulos correspondientesson iguales
2 .Los ángulos alternos son iguales
3. Los ángulos colaterales son suplementarios
Debemos sobreentender que al decir ángulos iguales nos referimos a que son iguales entre sí; y de manera análoga para los ángulos complementarios.
Teorema 1.2.2 (Teorema inverso) En un sistema de dos rectas cortadas por una secante, basta que haya
1. Un par de ángulos correspondientes iguales, obien,
2. algún par de ángulos alternos iguales, o bien
3. algún par de ángulos colaterales suplementarios,
para que esas dos rectas sean paralelas.
Por lo tanto, cualquiera de las res alternativas mencionadas en el teorema 1.2.2 (Teorema inverso), implica los incisos 1,2 y 3 del teorema (1.2.1) (teorema directo).
Este par de teoremas aunque aparentemente inofensivo resultará muy importantepues se aplica en muchos resultados, como veremos a continuación.
Llamaremos triángulo al espacio limitado por tres rectas que se cortan.
Teorema 1.2.3 La suma de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180°.
Demostración. Sea ABC un triángulo cualquiera. Tracemos una recta paralela al segmento BC que pase por A.
Sabemos que D + A + E = 180°.Por lo tanto tenemosD= B por ser ángulos alternos internos, y por la misma razón E= C.
Sustituyendo los valores de D y E en la primera igualdad obtendremos el resultado.
Definición 1.2.1 Un ángulo exterior de un triángulo es el formado por el lado del triángulo y la prolongación de otro.
Corolario 1.2.4 En todo triángulo cada ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores que no le sonadyacentes, es decir que le son opuestos.
Demostración. Consideremos un triángulo cualquiera ABC.
Por el teorema (1.2.3) A + B + C = 180°; y como E + B = 180°, entonces E= A+ C.
Corolario 1.2.5 La suma de los tres ángulos exteriores (uno en cada vértice) de cualquier triángulo, es igual a 360°.
Demostración. Sea ABC un triángulo cualquiera.
Sean los ángulos exteriores D, E y F.Así, por el corolario (1.2.4), tenemos las siguientes identidades:
D = B+C,
E = A+C,
F = A +B,
de esta manera
D + E+ F= 2(A + B+ C)= 2(180°).
Por lo tanto
D + E+ F= 360°.
Dos ángulos suplementarios son aquellos cuya suma de medidas es 180° (grados sexagesimales).
Así, para obtener el ángulo suplementario de α, que tiene una amplitud de 120°, se restará α de...
Los ángulos α y β son complementarios.
Los ángulos complementarios son aquellos cuya suma de medidas es 90º (grados sexagesimales). Si dos ángulos complementarios son adyacentes, los lados no comunes de los dos forman un ángulo recto.
Así, para obtener el ángulo complementario de α que tiene una amplitud de 70°, se restará α de 90°:
β = 90° – 70º = 20º
el ángulo β(beta) es el complementario de α (alfa).
Sabiendo esto, dichos ángulos formarán siempre un triángulo rectángulo puesto que los ángulos en un triángulo rectángulo son uno de 90º y los otros dos deben sumar 90 (180º(grados totales de un triángulo)-90º=90º). Por tanto, el seno de alpha es igual al coseno de beta y el seno de beta igual al coseno de alpha puesto que pertenecen al mismo triángulorectángulo.
La diagonal de un rectángulo también configura ángulos complementarios con los lados adyacentes.
Ángulos suplementarios
1.2 Rectas cortadas por una secante
Posted on 23:29 | By Timur | In 1.2 Rectas cortadas por una secante
Consideremos un sistema de dos rectas cortadas por una secante o transversal. En este caso tenemos, para cada intersección, un sistema de dos rectas que secortan entre si, obteniendo de esta manera varios ángulos opuestos por el vértice y adyacentes, correspondientes a cada intersección. Pero también podemos clasificar los ángulos de acuerdo a la posición que ocupan con respecto a los sistemas adyacentes.
Teorema 1.2.1 (Teorema directo) En todo sistema de dos rectas paralelas cortadas por una secante, se tiene que
1. Los ángulos correspondientesson iguales
2 .Los ángulos alternos son iguales
3. Los ángulos colaterales son suplementarios
Debemos sobreentender que al decir ángulos iguales nos referimos a que son iguales entre sí; y de manera análoga para los ángulos complementarios.
Teorema 1.2.2 (Teorema inverso) En un sistema de dos rectas cortadas por una secante, basta que haya
1. Un par de ángulos correspondientes iguales, obien,
2. algún par de ángulos alternos iguales, o bien
3. algún par de ángulos colaterales suplementarios,
para que esas dos rectas sean paralelas.
Por lo tanto, cualquiera de las res alternativas mencionadas en el teorema 1.2.2 (Teorema inverso), implica los incisos 1,2 y 3 del teorema (1.2.1) (teorema directo).
Este par de teoremas aunque aparentemente inofensivo resultará muy importantepues se aplica en muchos resultados, como veremos a continuación.
Llamaremos triángulo al espacio limitado por tres rectas que se cortan.
Teorema 1.2.3 La suma de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180°.
Demostración. Sea ABC un triángulo cualquiera. Tracemos una recta paralela al segmento BC que pase por A.
Sabemos que D + A + E = 180°.Por lo tanto tenemosD= B por ser ángulos alternos internos, y por la misma razón E= C.
Sustituyendo los valores de D y E en la primera igualdad obtendremos el resultado.
Definición 1.2.1 Un ángulo exterior de un triángulo es el formado por el lado del triángulo y la prolongación de otro.
Corolario 1.2.4 En todo triángulo cada ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores que no le sonadyacentes, es decir que le son opuestos.
Demostración. Consideremos un triángulo cualquiera ABC.
Por el teorema (1.2.3) A + B + C = 180°; y como E + B = 180°, entonces E= A+ C.
Corolario 1.2.5 La suma de los tres ángulos exteriores (uno en cada vértice) de cualquier triángulo, es igual a 360°.
Demostración. Sea ABC un triángulo cualquiera.
Sean los ángulos exteriores D, E y F.Así, por el corolario (1.2.4), tenemos las siguientes identidades:
D = B+C,
E = A+C,
F = A +B,
de esta manera
D + E+ F= 2(A + B+ C)= 2(180°).
Por lo tanto
D + E+ F= 360°.
Dos ángulos suplementarios son aquellos cuya suma de medidas es 180° (grados sexagesimales).
Así, para obtener el ángulo suplementario de α, que tiene una amplitud de 120°, se restará α de...
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