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Ecuaciones con Radicales

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Ecuaciones con Radicales
Usaremos la siguiente propiedad para resolver estas ecuaciones:
Cualquier ra´z de una ecuaci´ n dada, puede ser tambi´ n ra´z de otra ecuaci´ n que se obtenga al
ı
o
e
ı
o
igualar los cuadrados de los dos miembros de la ecuaci´ n propuesta.
o
Empero, al elevar al cuadrado los dos miembros de una ecuaci´ n, se obtienen valorespara la inc´ gnita que
o
o
pueden resultar incorrectos para la ecuaci´ n original, tales valores se llaman ra´ces extra˜ as de la ecuaci´ n.
o
ı
n
o
Esto debido a que los radicales de ´ndice par presentan problemas de indefinici´ n con subradicales negaı
o
tivos.
Para resolver una ecuaci´ n que comprende radicales se efect´ an los siguientes pasos:
o
u
1. Se deja en uno de los miembrosun solo radical, trasladando al otro miembro los dem´ s t´ rminos.
a e
2. Se elevan al cuadrado, al cubo, etc. los dos miembros de la ecuaci´ n obtenida y se igualan entre si
o
(depende del ´ndice de la ra´z involucrada).
ı
ı
3. Si la ecuaci´ n obtenida no contiene radicales se resuelve normalmente. Si por el contrario, contiene
o
uno o m´ s radicales se repiten los pasos 1 y 2 hastaobtener una ecuaci´ n sin radicales. Luego se
a
o
´
resuelve esta ultima ecuaci´ n.
o
4. Se sustituyen en la ecuaci´ n original los valores obtenidos en el paso anterior y se determinan las
o
ra´ces extra˜ as.
ı
n
El proceso de liberar la ecuaci´ n de radicales se conoce con el nombre de racionalizaci´ n de la ecuaci´ n.
o
o
o

Ejemplo 1.
Resolver:

p

x+3=4

Soluci´ n.
o
p
(x + 3)2 = (4)2

elevando ambos miembros al cuadrado,

x+3=16

eliminando el radical con el cuadrado,

x=16-3

restando 3 a ambos lados de la ecuaci´ n,
o

x=13

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posible soluci´ n.
o

Prof. Waldo M´ rquez Gonz´ lez
a
a

Ecuaciones con Radicales

2

Al sustituir x=13 en la ecuaci´ n original para chequear si es una ra´z extra˜ a o no, nos
o
ı
n
ppercatamos que 13 + 3=4, es correcta. Por tanto.

S = {13}

Ejemplo 2.
Resolver:

p

2x2

1 =x

Soluci´ n.
o
p
( 2x2

1)2 = (x)2

elevando ambos miembros al cuadrado,

2x2

1 = x2

eliminando el radical con el cuadrado,

2x2

x2 = 1

transponiendo t´ rminos,
e

x2 = 1

restando los coeficientes de los cuadrados
posibles 2 soluciones.

x = ±1

Sisustituimos x= 1 en la ecuaci´ n original, obtenemos
o
q

2( 1)2

1 = ( 1)

Claramente se observa que el miembro derecho de esta ecuaci´ n no puede ser negativo,
o
p
1 = 1. Se descarta 1 por ser una ra´z extra˜ a y se acepta solamente x=1.
ı
n
S = {1}

Ejemplo 3.
Resolver:

p

4x2

15

2x =-1

Soluci´ n.
o
p

4x2

15 =2x-1,

despejando el radical en el lado izquierdoEcuaciones con Radicales

p
( 4x2

3

15)2 = (2x

1)2 ,

4x2

15 = (2x

1)2 ,

4x2

15 = 4x2

elevando ambos miembros al cuadrado,

4x + 1

15 =

eliminando el radical con el cuadrado,
desarrollando el binomio de la derecha
cancelando t´ rminos a ambos miembros,
e

4x + 1

4x=1+15

transponiendo t´ rminos,
e

4x=16
x= 16
4

pasando a dividir,

x=4posible soluci´ n.
o

Al sustituir el x=4 en la ecuaci´ n original se tiene:
o
p
p
p
p

4 · 42

15

2 · 4 =-1

4 · 16

15

8 =-1
8 =-1

64

15

49

8 =-1

7-8=-1. La cual es correcta, y se toma como soluci´ n: S = {4}.
o
Ejemplo 4.
Resolver:

p

x+4+

p

p

1

x

1 =5

Soluci´ n.
o
p

x+4=5

p
( x + 4)2 = (5
x + 4 = 25

x
p

x

p
2·5 xaislando un radical,
1)2
p
1+( x

elevando al cuadrado,
1)2

desarrollando la segundo f´ rmula
o

Ecuaciones con Radicales

4

notable,
x + 4 = 25

p
10 x

x+4

x+1=

25

20 =

p
10 x

p
20 = 10 x
2=

p

x

1+x

haciendo c´ lculos
a

1

p
10 x

transponiendo t´ rminos,
e

1

1

1

1

p
(2)2 = ( x

1)2

elevando al cuadrado a...