tareas

Objetivo
En este trabajo, el objetivo es el uso y entendimiento de las ecuaciones de Laplace y Poisson. Estas ecuaciones nos ayudarán a encontrar campos de potencial dentro de regiones encerradas por potenciales o densidades de cargas conocidas.
Introducción
En clases anteriores, se aprendió a encontrar la intensidad del campo eléctrico dado a una distribución de carga o un campo depotencial conocidos. Para una carga conocida con una distribución espacial de una forma general, se puede utilizar la ley de Coulomb y así obtener la suma vectorial de los campos de todas las cargas puntuales que forman la distribución. En casos donde se tenían distribuciones de cargas simétricas, la ley de Gauss era muy útil para obtener, con una mayor rapidez, el campo. También encontramos laintensidad del campo eléctrico evaluando el campo potencial asociado con una distribución de carga, y después calculamos el gradiente negativo del resultado para obtener E.
En esta investigación veremos cómo se solucionan dichos problemas en una forma más directa, y desarrollando las herramientas matemáticas apropiadas para este propósito que son las ecuaciones de Laplace y de Poisson.
Cuando se comparanlas ecuaciones de Laplace y de Poisson con los otros métodos, tal vez sean mucho más útiles, debido a que muchos problemas se relacionan con dispositivos en los cuales las diferencias de potencial aplicadas se conocen, y además, los potenciales constantes se presentan en las fronteras.

Desarrollo
Ecuaciones de Laplace y de Poisson
Para obtener las ecuaciones de Laplace es sumamente sencillosi partimos de la forma punto de la ley de Gauss.
(1)
De la definición de D,
(2)
Y de la relación de gradiente,
(3)
Por sustitución se obtiene

O
(4)
Para una región homogénea en la cual ε es constante.
La ecuación (4) es la ecuación de Poisson, pero la operación “doble ” debe ser interpretada y desarrollada, al menos en coordenadas cartesianas, antes que la ecuación seaútil, en coordenadas cartesianas,


Y, por lo tanto,



La operación ;

En coordenadas cartesianas
Si , indica que una densidad de carga volumétrica cero, pero permite que existan cargas puntuales, densidad de carga línea y densidad de carga superficial como fuentes de campo localizadas en lugares bien definidos, entonces.

Que constituye a la llamada ecuación de Laplace. La operaciónse llama el laplaciano de V.
La ecuación de Laplace en los tres diferentes sistemas de coordenadas:




La ecuación de Laplace debe de resolverse sujeta a ciertas condiciones de frontera.
Todo problema físico debe de contener al menos una frontera conductora, aunque con frecuencia contiene dos o más. Los potenciales sobre estas fronteras tienen valores designados, como V0, V1,… o tal vezvalores numéricos. Estas superficies equipotenciales definidas proporcionan las condiciones de frontera. En otros casos las condiciones de frontera toman valores de E sobre una superficie cerrada, o por una combinación de valores de V y E.
Teorema de Unicidad
Sea y soluciones de la ecuación de Poisson en una cierta región R:

Cumpliendo las condiciones de contorno

Siendo S la superficieque delimita dicho volumen.
Tomando por las condiciones anteriores ha de cumplirse que:



Dado que cumple la ecuación de Laplace, no posee máximos ni mínimos locales, el valor máximo y mínimo se alcanza en la frontera de modo que concluimos




El potencial que cumple la ecuación de Poisson en una cierta región R con unas ciertas condiciones de contorno dadas en su superficie S esúnico. O lo que es lo mismo, dados V1 y V2 definidos en R que cumplen:


Implica que:



Ejemplos


1) Sea V=xy2z3 y ε=ε0. Dado el punto P(1,2,-1), encontrar a) V en P; b) E en P; c) ; d) la ecuación de la superficie equipotencial que pasa por P; e) la ecuación de la línea que pasa por P. f) ¿Satisface V la ecuación de Laplace?
a) V en P: Substituyendo los coordenadas en V, hallazgo...