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MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Aplicaciones de la derivadaOBJETIVOS:SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:• Resuelva problemas de razón de cambio.• Resuelva problemas de máximos y mínimos.• Aproxime valores.• Aproxime funciones mediante polinomios5.1 RAZÓN DECAMBIO 5.2 PROBLEMAS PRÁCTICOS DEMÁXIMOS YMÍNIMOS 5.3 DIFERENCIALES YAPROXIMACIONES 5.4 POLINOMIO DETAYLOR 5127
MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Aplicaciones de la derivada 5.1 RAZÓN DE CAMBIOComola derivada expresa el cambio instantáneo que experimenta unavariable con respecto a otra variable, para una función , se podríaobtener la derivada o razón de cambio de las variables "" y ")( x f y= xy" conrespecto al tiempo "t ", es decir: "dt dy" y "dt dx". Lo cual nos va a permitirresolver problemas de aplicación.Ejemplo 1Hacia un tanque cónico fluye agua a razón demin p38, si la altura deltanque es de 12pies y el radio de la base es de 6 pies. ¿Qué tan rápido se esta elevando el nivel delagua cuando tiene 4 pies de altura?.SOLUCIÓN:Esquematizando en un gráfico, la información dada, tenemos:Llamemos:3 penentraqueaguadeCantidad M ≡ 3 pensalequeaguadeCantidad Q ≡ 3 penalojadaaguadeCantidad V ≡ Para este tipo de problema, de manera general se puede proponer:V Q M =− Derivando conrespecto al tiempo, resulta:dt dV dt dQdt dM =− Ahora de acuerdo a la información proporcionada, tenemos:min pdt dM 38=ymin pdt dQ30=.El volumen del agua alojada depende de la geometría del recipiente. En este caso deberíamos usar la formula del volumen de un cono , es decir:hr V 231π=.Ahora hay que tener la función volumen en término de una variable, que en este caso, lo másindicado es que sea enfunción de (¿por qué?). La forma geométrica del recipiente y la formageométrica de la masa de agua que se va alojando en el recipiente nos permite hacer lo indicado. Lassecciones transversales son triángulos semejantes, esto nos permite relacionar hr con .h 128
MOISES VILLENA MUÑOZCap. 5 Aplicaciones de la derivada 612r h=entonces2hr = reemplazando en la formula para elvolumen del aguaalojada, resulta:3122312hhhV π=⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π= por tantodt dhhdt dV 24π= Entonces:min phdt dhdt dhhdt dV dt dQdt dM 2243208π==−=−π En resulta:4=h( )min pdt dhπ=π=π=216324322 Ejemplo 2Una piscina tiene 40 p de largo y 20 p de ancho, 8 p de profundidad en el extremo mashondo y 3 p en el extremo menos profundo, El fondo es rectangular, se estabombeando agua a razón de 40 p3/min. ¿Con qué rapidez seeleva el nivel del aguacuando tiene: a)3 p b) 6 pSOLUCIÓN:Esquematizando en un gráfico, la información dada, tenemos:Note que aquí tenemos un recipiente de doble geometría, por tanto antes que el nivel del agua sea 5pes una situación y otra situación después de los 5p.a)50≤−=y x y3. Determine laLONGITUDde la escaleraMÁS CORTAque llega desde el piso, sobre un muro de 8 pies de altura,hasta una paredde un edificio, a
1 piede distancia del muro. PisoEscaleraEdif icioPared1'4. Un excursionista se encuentra en un bosque a 2 km. de una larga carretera recta. Desea caminar a su cabaña,que se encuentra a 10 km. de distancia por el bosque y también a 2 km. de la carretera (ver figura). Puedecaminar a una velocidad de 8 km/h por la carretera pero solamente a 3 km/h por el bosque. Así decide...