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Universidad de los Lagos Álgebra Lineal 2009

UNIDAD N° 1: LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Números Imaginarios Estos números se inventaron para dar solución a ecuaciones cuadráticas de la forma x2 + 1 =0, que no tiene solución en IR. La característica de estos números es que al elevarlos al cuadrado dan como resultado un número negativo. Unidad Imaginaria i = − 1 ⇔ i2 = −1
Números Imaginarios PurosEs la unidad imaginaria multiplicada por un factor real distinto de cero. bi con b ∈ IR − {0} Operaciones con Números Imaginarios ∀ a, b ∈ IR, se tiene: 1. ai + bi = (a + b)i 2. a · bi = (a · b)i 3.ai · bi = (a · b)i2 = −ab ai  a  4. =  i con b ≠ 0 b b ai a 5. con b ≠ 0 = bi b

Potencias de i Si n es un número entero, entonces i4n +1 = i i4n + 2 = −1 i4n + 3 = −i i4n = i4n + 4 = 1 LosNúmeros Complejos / C = {a + bi / a,b ∈ IR ∧ i2 = −1} Si z = a + bi, entonces a es la parte real de z y b es la parte imaginaria de z. Re(z) = a z = a + bi Im(z) = b

Igualdad de Números Complejos Dosnúmeros complejos z1 y z2 son iguales si y sólo si, sus partes reales e imaginarias son iguales. z1 = a + bi ⇒ z1 = z2 ⇔ (a = c ∧ b = d) z2 = c + di

1

Expresiones para representar un NúmeroComplejo Expresión Binomial o Canónica: z = a + bi Expresión Cartesiana: z = (a, b) Representación Geométrica de un Número Complejo Todo número complejo z = a + bi se puede representar en el plano deArgand, como un vector de origen (0, 0) y punto final P(a, b). (eje imaginario) y b P
z

a

x (eje real)

Valor Absoluto de un Número Complejo Es la magnitud del vector que representa a un númerocomplejo en el plano de Argand. Si z = (a, b), entonces z = a2 + b2 = Re(z)2 + Im(z)2

Números Complejos Conjugados Dos números complejos son conjugados si sólo difieren en el signo de la parteimaginaria. Si z = a + bi, entonces z = a − bi Nota: z y z son simétricos con respecto al eje real. Propiedades: 1. Si z = a + 0i, entonces z = z 2. z = z 3. z = z Adición de Números Complejos Se suman...
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