Tareas

Método de bisección
En matemáticas, el método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raíz.

El método de bisección se basa en el siguiente teorema de Cálculo:

Teorema del Valor Intermedio
Sea  [pic]  continua en un intervalo  [pic] y supongamos que  [pic]. Entonces para cada
  [pic] talque  [pic], existe  un [pic] tal que  [pic]. La misma conclusión se obtiene

Para el caso que  [pic].
Básicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda función continua en un intervalo cerrado, una vez que alcanzó ciertos valores en los extremos del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios.
En particular, si  [pic]  y  [pic] tienen signos opuestos, entoncesun valor intermedio es precisamente [pic],  y  por lo tanto, el Teorema del Valor Intermedio nos asegura que debe existir  [pic] tal que [pic], es decir, debe haber por lo menos una raíz de  [pic] en el intervalo [pic]

El método de bisección sigue los siguientes pasos:
Sea  [pic] continua,
1) Encontrar valores iniciales  [pic],  [pic]  tales que  [pic]  y  [pic]  tienen signos opuestos, esdecir,
[pic]
2) La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre  [pic]  y  [pic]:
[pic]
3) Evaluar  [pic]. Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:
•  
[pic]
En este caso,  tenemos que  [pic]  y  [pic]  tienen signos opuestos, y por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo  [pic].
• [pic] 
En este caso,  tenemos que  [pic]  y  [pic]  tienenel mismo signo, y de aquí que  [pic]  y  [pic] tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el intervalo  [pic].
[pic]
En este caso se tiene que  [pic] y por lo tanto ya localizamos la raíz.
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:
[pic]
Es decir,

[pic]

Ejemplo
Aproximar la raíz de [pic]  hasta que  [pic].
Solución
 Como vimos  la única raízde  [pic] se localiza en el intervalo  [pic]. Para poder aplicar el método de bisección, es importante checar que sí se cumplen las hipótesis requeridas.
Sabemos que  [pic] es continua en el intervalo [pic], y checamos que  [pic] y  [pic] tengan signos opuestos.
En efecto,
[pic]
Mientras que,
[pic]
Por lo tanto, sí podemos aplicar el método de bisección.
Calculamos el punto medio delintervalo [pic],
[pic]
Que es la primera aproximación a la raíz de [pic].
Evaluamos  [pic].
Y hacemos nuestra tabla de signos,
[pic]
Puesto que [pic] y  [pic]  tienen signos opuestos, entonces la raíz se localiza en el intervalo  [pic]. 
En este punto, solo contamos con una aproximación, a saber,  [pic], que es el primer punto medio calculado.
Repetimos el proceso, es decir, calculamos el puntomedio ahora del intervalo  [pic],
[pic]
Que es la nueva aproximación a la raíz de  [pic].
Aquí  podemos calcular el primer error aproximado:
[pic]
Puesto que no se cumple el objetivo, continuamos con el proceso.
Evaluamos  [pic]. 
Y hacemos la tabla de signos:
[pic]
Puesto que  [pic] y  [pic]  tienen signos opuestos, entonces la raíz se localiza en el intervalo  [pic].
Calculamos elpunto medio,
[pic]
Y el nuevo error aproximado:
[pic]
El proceso se debe continuar hasta que se logre el objetivo.
Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:         
| |Error aprox. |
|Aprox. a la raíz | |
|0.5 |  |
|0.75 |33.33%|
|0.625 |20% |
|0.5625 |11.11% |
|0.53125 |5.88% |
|0.515625 |3.03% |
|0.5234375 |1.49% |
|0.51953125 |0.75% |

De lo cual, vemos que la aproximación buscada es ...