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1. FUNCIONES LINEALES

EJEMPLOS 1


g) Una compañía de herbicidas presenta costos fijos de $4000 unidades monetarias, con un costo de $2,5 unidades monetarias por herbicida. Los herbicidas se venden a $6,5 unidades monetarias cada uno.

A) Cuál es el costo total de la empresa?.

B) Cuál es la función de ingresos?.

C) Dibuje las funciones de ingresos y costos sobre elmismo sistema coordenado.

D) En qué punto se cortan las gráficas?. Cuál es el significado económico?

Solución:

Recordemos: Costo total = costos fijos + costos variables.
Ingreso = precio por número de artículos.

Algebraicamente:
A) C(x) = 4000 + (2,5)x

B) R(x) = (6,5)x

Antes de realizar el gráfico es importante encontrar el punto de corte de las gráficas.

C(x) = R(x) 4000 + 2,5x = 6,5x  4000 = 4,0x

 x = 1000 por qué?

C(1000) = 4000 + 2,5(1000) = 6500; R(1000) = 6,5(1000) = 6500

C) Gráfico:



D) El punto de corte es (1000, 6500). El significado económico en este caso es el punto de equilibrio y además muestra la parte de ganancia y pérdida.



Ejemplo 2

j) Una compañía Risaraldense procesadora de café, tiene al producir elgrano por kilos, un costo variable de $0,22 unidades monetarias y costos fijos de $210 unidades monetarias.

A) Cuál es la ecuación de costo lineal?.
B) Cuál es el costo de procesar 500 kilos de granos de café en un día?.

Solución:

A) Sea yc el costo en unidades monetarias de procesar x kilos de café diarios, el modelo para este caso es lineal; es decir tiene la forma:

Yc = mx + b.

m= costo variable por unidad.

b = costo fijo.

Aquí: m = $0,22 b = $210 luego Yc = 0,22x + 210.

B) El costo de procesar 500 kilos se obtiene reemplazando:

x = 500 en Yc = mx + b. entonces:

Yc = mx + b  Yc = 0,22(500) + 210.

Yc = 320 unidades monetarias.

El gráfico es el siguiente:
Recuerde que para trazar el gráfico se deben hallar los interceptos,como lo hicimos en el gráfico de funciones.





LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS


Ejemplo 1
La sección de investigación de mercados de una compañía recomendó a la gerencia que fabrique y venda un nuevo producto. Luego de amplias investigaciones, se apoyó la idea y mediante la ecuación de demanda siguiente:

x = f(p) = 9000 - 30p.

donde x es el número de unidades que los distribuidorescomprarán probablemente cada mes a $p por unidad. Observe que a medida que el precio sube, el número de unidades disminuye. Del departamento de finanzas se obtuvo la siguiente ecuación de costo.

C(x) = g(x) = 90000 + 30x.

A) Exprese el costo C como una función del precio p.

B) Exprese el ingreso R como una función cuadrática del precio p.

C) Construya la gráfica de las funciones de costoe ingreso obtenidas en las partes A) y B) en el mismo sistema de coordenadas, e identifique las regiones de utilidad y pérdida.

D) Calcule los puntos de equilibrio; es decir, encuentre los precios al valor más próximo en el cual R = C.

E) Cuál es el precio que produce el máximo ingreso?

Solución:

A) C = 90000 + 30x pero x = 9000 - 30p
tenemos entonces:
C = 90000 + 30(9000 -30p)

= 90000 + 270000 - 900p

 C = 360000 - 900p que expresa el costo en función del precio.

B) Ingreso = Precio por unidad, entonces R = p.x

R = p(9000 - 30p2)  R = 9000p - 30p2.

C) Gráfica:

D) Calculamos primero el punto de equilibrio. Esto se logra con

R = C

9000p - 30p2 = 360000 - 900p.

30p2 - 9900p + 360000 = 0 Por qué?

p2 - 330p + 12000 = 0 Porqué?








E) El máximo ingreso se produce $150.


Ejemplo 2

Cuando la libra de camarones se vende a p unidades monetarias, los consumidores de un puerto pesquero pueden comprar D(p) = 45/(p – 4) libras diariamente, por la pescadería local a este precio es de O(p) = p - 8 libras.

A) Elabore el gráfico de las funciones de oferta y demanda en el mismo sistema coordenado.
B)...