Tarimas

Actividad 9
Crecimiento de una población
 

Consideremos los datos de población de México dados en la siguiente tabla para los primeros años de la década de los ´80´s.
 
Año | Población(en Millones) | Cambio de la población (en millones) |
1980 | 67.38 |   |
  |   | 1.75 |
1981 | 69.13 |   |
  |   | 1.80 |
1982 | 70.93 |   |
  |   | 1.84 |
1983 | 72.77 |   |
  |   | 1.89 |1984 | 74.66 |   |
  |   | 1.94 |
1985 | 76.60 |   |
  |   | 1.99 |
1986 | 78.59 |   |
 
 
Si comparamos mediante un cociente la población de cada año por la población del año anterior, obtenemos aproximadamente
 
 
|
|
 
El hecho de que ambos cálculos hayan resultado 1.026, nos muestra que el crecimiento de la población es aproximadamente de 2.6% entre 1980 y entre1981 y 1982. Si se realizan cálculos similares para otros años, puedes encontrar que la población crece por un factor de aproximadamente 1.026, o 2.6%, cada año. Entonces, siempre que se obtenga un factor de crecimiento constante (en este caso fue de 1.026), se tiene un crecimiento exponencial. De esta manera, si t es el número de años desde 1980,
 
 
Cuando t = 0 | Población = 67.83 = 67.83 |Cuando t = 1 | Población = 69.13 = 67.38 |
Cuando t = 2 | Población = 70.93 = 69.13(1.026) = 67.83 |
Cuando t = 3 | Población = 72.77 = 70.93(1.026) = 67.38 |
 
Y así, a los t años después de 1980, la población está dada por la expresión

 
esto es, una función exponencial con base 1.026. Es llamada exponencial porque la variable, t, está en el exponente y la base representa elfactor por el cual la población crece cada año, como se muestra en la siguiente gráfica.
 
 
 
 
 
Si suponemos que la misma fórmula servirá para los siguientes 50 años, la gráfica de la población luciría como sigue
 

 
De la gráfica se advierte claramente que es una función creciente. Note también que la gráfica crece más y más aprisa conforme transcurre el tiempo. Este comportamientoes típico de una función exponencial.
Por otro lado, incluso si los datos son reales, las gráficas anteriores son sólo una aproximación a la verdadera gráfica de la población de México, pues ya que no es posible considerar fracciones de gente, la gráfica luciría verdaderamente como una quebrada que "salta" en cada ocasión que alguien nace o muere. Sin embargo, con una población en millones, lossaltos son demasiado pequeños para ser visibles a esta escala. No obstante, una gráfica suave como esta es una buena aproximación.
 
1. Prediga la población de México en el año:
(a) 2007, (b) 2034, (c) 2061
2. Considerando los datos obtenidos, ¿Te parece que podrías considerarlos fidedignos? Argumente su respuesta.
3. ¿En cuanto tiempo la población de México será el doble de la de 1980?
4.Suponga que Q=f(t) es una función exponencial de t. Si f(20.1)=88.2 y f(20.3)=91.4 :
 
(a) encuentre la base, (b) encuentre la tasa de crecimiento,
(c) evalue f(21.4)

Modelando: Uso y Descubrimiento
Actividad 10
La función exponencial
 

1. El número de células cancerosas crece lentamente al principio y repentinamente lo hace con una rapidez también creciente. Dibuje una posiblegráfica para el número de células cancerosas respecto al tiempo.
 2. El consumo anual mundial de energía eléctrica se incrementa cada año. En adición a esto, cada año el crecimiento anual también crece. Bosqueje una gráfica posible para el consumo anual mundial de energía eléctrica como una función del tiempo.
 
3. Durante un intervalo de cinco minutos, se inyecta cierta droga al torrentesanguíneo de un paciente. Durante este tiempo, la cantidad de droga en su sangre se incrementa linealmente. A los cinco minutos, se suspende la inyección después de lo cual la cantidad de droga disminuye exponencialmente. Bosqueje una gráfica de la cantidad de droga en el torrente sanguíneo del paciente contra el tiempo transcurrido.
 
 4. Cuando no hay hormonas esteroides (por ejemplo, estrógeno)...