Tecnicas de cancelacion y racionalización.

Técnicas de cancelación y de racionalización.

Técnica de cancelación.
Encontrar el límite: lim┬(x→-3)⁡〖(x²+x-6)/(x+3)〗
Aunque se trata del límite de una función racional, no se puede aplicar elteorema debido a que el límite del denominador es 0.
lim┬(x→-3)⁡〖(x²+x-6)/(x+3)〗= ((〖(-3〗^(2))+3-6))/(-3+3)=0/0
Sacamos factor común del denominador y numerador que seria: (x+3)
F(x)=(x²+x-6)/(x+3)= ((x+3)(x-2))/(x+3)= x-2
Aplicando limite:
lim┬(x→-3)=x-2= -5.
La sustitución directa en este caso produce la forma fraccionaria 0/0, que carece de significado, denominada forma indeterminadaporque no es posible determinar el límite. Si al intentar evaluar un límite se llega a esta forma debe reescribirse la fracción de modo que el nuevo denominador no tenga 0 como límite.
Técnica deracionalización.
Encontrar el límite: lim┬(x→0)⁡〖(√(x+1)-1)/x〗
Utilizando la sustitución directa, se obtiene la forma indeterminada.
lim┬(x→0)⁡〖(√(x+1)-1)/x〗 =√(0+1-1)/0= 0/0
En este caso se puedereescribir la fracción racionalizando el denominador:
(√(x+1)-1)/x=( (√(x+1)-1)/x)((√(x+1)+1)/(√(x+1)+
1))= ((x+1)-1)/x(√(x+1)+1) = x/x(√(x+1)+1) = 1/(√(x+1)+1), x≠0
Aplicando límite:lim┬(x→0)⁡〖(√(x+1)-1)/x〗= lim┬(x→0)⁡〖1/(√(x+1)+1)〗 = 1/(1+1) =1/2






Teorema del encaje o teorema del emparedado.
Sea I un intervalo que contiene al punto a y sean f, g y h funciones definidas en I,exceptuando quizás el mismo punto a. Supongamos que para todo x en I diferente de a tenemos:

y supongamos también que:

Entonces, .
Un limite en el que interviene una función trigonométrica.Encontrar el limite: lim┬(x→0)⁡〖tan⁡x/x〗

La sustitución directa tiene como resultado la forma indeterminada.
lim┬(x→0)⁡〖tan⁡x/x〗 = 〖lim⁡(〗┬(x→0) sin⁡x/x)(1/cosx).
Ahora puesto que
〖lim⁡(〗┬(x→0)sin⁡x/x)=1 y lim┬(x→0) (1/cosx)=1
Se puede obtener.
lim┬(x→0)⁡〖tan⁡x/x〗= (〖lim⁡(〗┬(x→0) sin⁡x/x)) (lim┬(x→0) (1/cosx))= (1)(1)= 1








Continuidad y...